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Cercle passant par 3 points (Produit scalaire) DM

Posté par
Groy 10-02-07 à 08:12

Salut ^^

Je viens vous demander de l'aide pour un exo type du produit scalaire sur l'équation du cercle de points qui se trouve dessus.

Enoncé :

On donne les points A ( 4; ) , B ( 0;5 ) et C ( -2;1 ) .
Le but de l'exo est de trouver une équations du cercle \textrm C passant par ces 3 points.

On sait qu'une équation de \text C est :

x² + y² + ax + by + c = 0

Trouver une équation de ce cercle équivaut à trouver a,b,c

\red 1. En écrivant que A , B , C sont 3 points du cercle de \textrm C démontrez que :

4a + B + c = -17  [1]
-a + b + c = -5  [2]
5b + c = -25 [3]

\red 2. A l'aide de [1] et [2] , trouver a

\red 3. Déduisez-en b et c puis une équation de \textrm C .

\red 4. Vérifiez que A , B , C sont 3 points de \text C.
Précisez les coordonnées de son centre de son rayon.

------------------------------------------------------------------------

Si vous pouvez m'aider pour pourvoir commencer, merci.
Ce qui me bloque pour le 1. c'est que je ne comprend pas du tout du sa sort le a,b,c de [1] , [2] et [3]
Et apres je pense pouvoir faire la suite et mettre au cas ou si c'est pas juste.

Posté par
disdrometrere : Cercle passant par 3 points (Produit scalaire) DM 10-02-07 à 08:22

salut,

les a,b,c sont les coefficients de :

x² + y² + ax + by + c = 0

et le cercle passe par B (0;5)

donc 0² + 5² + a0 + b5 +c =0 =>  25 + 5b +c =0  ou 5b+c =-25

D.

Posté par
Groyre : Cercle passant par 3 points (Produit scalaire) DM 10-02-07 à 09:46

Ha ok, alors pour les 2 premier sa donne :

Le cercle passe par A ( 4;1 )
4² + 1² + 4a + b + c = 0
4a + b + c = -17  [1]

Le cercle passe par C ( -2;1 )
(-2)² + 1² -2a + b + c = 0
-2a + b + c = 5  [2]

Pour le \red 2. je vais faire apres je vais poster c'est facil lol

Posté par
Groyre : Cercle passant par 3 points (Produit scalaire) DM 10-02-07 à 10:45

[text] \red 2.[\text] il faut utiliser une équation a 2 inconnu

Pour trouver a :

4a + b + c = -17  [1]
-a + b + c = -5  [2]

4a + b + c = -17
a - b - c = 5

=> 5a = 13

a = \frac{13}{5}

Mais pour le b ou le c (car si j'ais l'un des 2 je trouve le dernier) je vois pas comment je peux faire.

Posté par
disdrometrere : Cercle passant par 3 points (Produit scalaire) DM 10-02-07 à 10:49

Citation :
4a + B + c = -17  [1]
-a + b + c = -5  [2]


en soustrayant  [1] - [2] => 5a = 5 -17 =  -12 => a=-12/5

D.

Posté par
Groyre : Cercle passant par 3 points (Produit scalaire) DM 10-02-07 à 11:02

Ouais fautte de calcul.

Mais pour le c, ne serais-ce pas le rayon du cercle ?

Et comme sa on trouve le b

Posté par
disdrometrere : Cercle passant par 3 points (Produit scalaire) DM 10-02-07 à 11:08

5b + c = -25 => c= -25 -5b

donc -a + b + c = -5  =>  -a +b -25 -5b =-5 =>   -a -4b = 20 =>  ...

D.

Posté par
Groyre : Cercle passant par 3 points (Produit scalaire) DM 10-02-07 à 11:22

tgj, lol pas bien réveiller (plusto endormi --)

c = - 25 - 5b
a = \frac{-12}{5}

\textrm -a + b + c = -5 \\ \frac{12}{5} + b - 25 - 5b = -5 \\ -4b = \frac{125-25-12}{5} \\ -4b = \frac{88}{5} \\ b = -\frac{88 x 4}{5}
b = -\frac{352}{5}

\textrm c = - 25 - 5 -\frac{352}{5} \\ \\ c = -\frac{25 + 5 + 352}{5} \\ c = -\frac{382}{5}

Sauf erreur d'endormisement ^^

Posté par
disdrometrere : Cercle passant par 3 points (Produit scalaire) DM 10-02-07 à 11:25

-a -4b = 20

or a= -12/5 =>  12/5 -4b =20 =>4b = 12/5 -20 => 4b = (12 - 100)/5 = -88/5 => b = - 22/5

non ?

D.

Posté par
Groyre : Cercle passant par 3 points (Produit scalaire) DM 10-02-07 à 11:31

Mais (-88/5)/4 = -88*4/5 non ?

Posté par
Groyre : Cercle passant par 3 points (Produit scalaire) DM 10-02-07 à 11:40

Oups c'est bon, je vients de comprendre merci ^^

Posté par
Groyre : Cercle passant par 3 points (Produit scalaire) DM 10-02-07 à 12:36

A(4;1) , B(0;5) , C(-2;1)
\vec{AB}(-4;-4)

Soit I le centre d'inertie du triange ABC
I a pour absicisse le milieu de AC
xI = (xA - xC)/2
xI = (4 + 2)/2 = 3
xI = 3

Soit J le milieux de AB
Et a pour coordonnées :
xJ = (xA - xB)/2
xJ = 4/2 = 2
yJ = (yB - yA)/2
yJ = (5-1)/2 = 2
J(2;2) et \vec{IJ}(-1;2-xI)

D'ou \textrm \vec{IJ}.\vec{AB} = 0
x\vec{IJ}.x\vec{AB} + y\vec{IJ}.y\vec{AB} = 0
y\vec{IJ}.y\vec{AB} = -x\vec{IJ}.x\vec{AB}
y\vec{IJ} = (-x\vec{IJ}.x\vec{AB})/y\vec{AB}
y\vec{IJ} = [-(-1)(-4)]/-4
y\vec{IJ} = -1
\vec{IJ}(-1;-1)
y\vec{IJ} = yJ - yI
yI = yJ - y\vec{IJ}
yI = 2 + 1 = 3
I(3;3)

Si A,B et C sont sur le même cercle de centre I alors ils sont a égal distance du centre de point I
Alors AI² = BI² = CI² = r²
AI² = (x[sub]A[\sub]-x[sub]I[\sub])² + (y[sub]A[\sub]-y[sub]I[\sub])²
AI² = 1² + 2²
AI² = 5
BI² = (x[sub]B[\sub]-x[sub]I[\sub])² + (y[sub]B[\sub]-y[sub]I[\sub])²
BI² = 3² + 2²
BI² = 25
CI² = (x[sub]C[\sub]-x[sub]I[\sub])² + (y[sub]C[\sub]-y[sub]I[\sub])²
CI² = (-5)² + (-2)²
CI² = 29

Mais la est le probème, ou est-ce que j'ais fait mon erreur ?

Merci de bien vouloir me dire si c'est faux mon résonnement ^^

Posté par
Groyre : Cercle passant par 3 points (Produit scalaire) DM 10-02-07 à 12:41

EDIT MON POSTE AVEC LES BONNES BALISES ^^

A(4;1) , B(0;5) , C(-2;1)
\vec{AB}(-4;-4)

Soit I le centre d'inertie du triange ABC
I a pour absicisse le milieu de AC
xI = (xA - xC)/2
xI = (4 + 2)/2 = 3
xI = 3

Soit J le milieux de AB
Et a pour coordonnées :
xJ = (xA - xB)/2
xJ = 4/2 = 2
yJ = (yB - yA)/2
yJ = (5-1)/2 = 2
J(2;2) et \vec{IJ}(-1;2-xI)

D'ou \textrm \vec{IJ}.\vec{AB} = 0
x\vec{IJ}.x\vec{AB} + y\vec{IJ}.y\vec{AB} = 0
y\vec{IJ}.y\vec{AB} = -x\vec{IJ}.x\vec{AB}
y\vec{IJ} = (-x\vec{IJ}.x\vec{AB})/y\vec{AB}
y\vec{IJ} = [-(-1)(-4)]/-4
y\vec{IJ} = -1
\vec{IJ}(-1;-1)
y\vec{IJ} = yJ - yI
yI = yJ - y\vec{IJ}
yI = 2 + 1 = 3
I(3;3)

Si A,B et C sont sur le même cercle de centre I alors ils sont a égal distance du centre de point I
Alors AI² = BI² = CI² = r²
AI² = (xA-xI)² + (yA-yI)²
AI² = 1² + 2²
AI² = 5
BI² = (xB-xI)² + (yB-yI)²
BI² = 3² + 2²
BI² = 25
CI² = (xC-xI)² + (yC-yI)²
CI² = (-5)² + (-2)²
CI² = 29

Mais la est le probème, ou est-ce que j'ais fait mon erreur ?

Merci de bien vouloir me dire si c'est faux mon résonnement ^^

Posté par
disdrometrere : Cercle passant par 3 points (Produit scalaire) DM 10-02-07 à 12:42

c= -25 -5b  = -25 +22 = -3

donc

x² + y² + ax + by + c = 0  avec a = -12/5  b= -22/5 et c=-3

x² -12/5x = (x-6/5)² -36/25
y²-22/5 y = (y-11/5)² -121/25

donc x² + y² + ax + by + c = 0  <=> (x-6/5)² -36/25 + (y-11/5)² -121/25 -3 =0

(x-6/5)² + (y-11/5)² = ( 36+121+75)/25 =232/25

sauf erreurs.
D.

Posté par
Groyre : Cercle passant par 3 points (Produit scalaire) DM 10-02-07 à 13:25

Merci beaucoup disdrometre
J'ais compris et c'est tout bête, il faut juste reprendre se qu'on donne et s'arranger avec.

Posté par
Groyre : Cercle passant par 3 points (Produit scalaire) DM 10-02-07 à 13:42

Je viens de remarquer une erreur a parti du message du 10/02/2007 à 10:45 mais je vais faire attention pour les calculs ^^


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