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Changemenst variables

Posté par
PCSI 04-11-08 à 18:12

Bonjour, voilà l'exercice à résoudre:

Citation :

On considère I=\int_0^{pi/2}\frac{cosx}{sqrt{1+sin^2x} }dx  
  
Determiner la valeur de I en effectuant successivement et dans l'ordre indiqué les changements de variables u=sinx,u=tan,v=sin


Donc en faisant le premier changement de variable j'obtiens:

I=\int_0^{1}\frac{du}{sqrt{1+u^2}}

Mais ensuite je n'arrive pas a faire le deuxième changement de variable et je ne vois pas l'interêt car la primitive de\frac{du}{sqrt{1+u^2}} c'est:

ln(x+sqrt{1+x^2})

Merci d'avance pour tout aide.

Cordialement

Posté par
PCSIre : Changemenst variables 05-11-08 à 09:26

Posté par
mouss33re : Changemenst variables 05-11-08 à 09:43

en fait je pense que tu ne dois justement pas utliser ce résultat! et donc effectuer le 2ième changement de variable!

Posté par
gui_toure : Changemenst variables 05-11-08 à 10:16

Bonjour

je pense que tu dois faie les changements sur la première intégrale, pour te ramener à des formes connues à chaque fois

Posté par
apaugamre : Changemenst variables 05-11-08 à 10:28

l'idée de poser u= tg(alpha) c'est d'eliminer le radical car 1+tg^2=1/cos^2

à l'étape suivante, cos^2=1-sin^2 et cos \alpha d\alpha=d sin \alpha le changement de variable proposé est dc naturel puisqu'on a une puissance impaire de cos à intégrer

Posté par
pierrick428re : Changemenst variables 05-11-08 à 10:35

la primitive de du/sqrt(1+^²) ce n'est pas argsh ?

Posté par
apaugamre : Changemenst variables 05-11-08 à 10:49

Si mais si on ne connait pas cette fonction on arrive à intégrer avec des fcts plus élémentaires

Posté par
PCSIre : Changemenst variables 05-11-08 à 11:41

Merci pour les conseils mais je n'arrive pas a voir comment faire mon changement de variable est ce que quelqu'un pourrait me montrer comment faire?


Merci d'avance

Posté par
apaugamre : Changemenst variables 05-11-08 à 12:05

I=\int_0^{1}\frac{du}{sqrt{1+u^2}}
on pose u=tan \alpha
        du= \frac{1}{cos^2 \alpha}d\alpha=1+tan^2 \alpha d\alpha
I=\int_0^{\frac{\pi}{4}}\frac{1+tan^2 \alpha d\alpha}{sqrt{1+tan^2 \alpha}}=\int_0^{\frac{\pi}{4}} \frac{1}{cos \alpha} d\alpha

Posté par
PCSIre : Changemenst variables 05-11-08 à 13:03

Citation :
la primitive de du/sqrt(1+^²) ce n'est pas argsh ?


Si tu as raison, je n'y avais pas pensé (ou plutot je ne savais pas parfaitement mon cours...)

Merci bien pour la changement de variable.

Et donc pour la dernière: (soit a=)


On pose v=sina on a donc dv=cosada,

soit \frac{da}{cosa} \\ =\frac{dv}{cos^2a

or cos^2a=1-v^2
Donc I=\int0^{\frac{sqrt{2}}{2}}\frac{dv}{1-v^2}

Est ce que c'est ca?

Merci pour tout

Posté par
apaugamre : Changemenst variables 05-11-08 à 13:20

I=\int_0^{\frac{\pi}{4}} \frac{1}{cos \alpha} d\alpha =\int_0^{\frac{\pi}{4}} \frac{cos \alpha}{cos^2 \alpha} d\alpha =\int_0^{\frac{\pi}{4}} \frac{cos \alpha}{1-sin^2 \alpha} d\alpha

Posté par
apaugamre : Changemenst variables 05-11-08 à 13:23

c'est exactement ça
si on ne sait rien par coeur, on finit par une decomposition en elements simples de 1/1-v^2


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