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Changement de variable

Posté par
Dcamd 24-05-09 à 21:59

Bonjour, je dois calculer

3$\int_0 {1} \frac {x} {1 + sqrt/{1+x}}dx

en utilisant un changement de variable.

Mais ça ne me semble pas évident et je ne suis pas tout à fait au point sur la technique.

Merci d'avance pour votre aide.

David

Posté par
Dcamdre : Changement de variable 24-05-09 à 21:59

sous la racine il y a (1+x), c'est mal passé

Posté par
gui_toure : Changement de variable 24-05-09 à 22:02

Salut Dcamd !

A vue de nez, je poserais 3$u=\sqrt{1+x histoire de se débarasser de la racine carrée !

Posté par
lafol Moderateurre : Changement de variable 24-05-09 à 22:02

Bonjour

pose t = \sqrt{1+x}, ça marche tout seul

Posté par
lafol Moderateurre : Changement de variable 24-05-09 à 22:03

salut gui-tou
on est arrivés à la même conclusion

Posté par
gui_toure : Changement de variable 24-05-09 à 22:03

salut lafol

ça va alors, je n'ai pas dit de bêtise!

Posté par
Dcamdre : Changement de variable 24-05-09 à 22:14

Salut Gui_tou !    ; Bonjour Lafol !
Si on pose  u = \sqrt {1+x}
                 du = \frac {1} {2 \sqrt {1+x}}

L'intégrale devient

3$\int_1^{\sqrt{2}} 2u\frac {u^2-1}{1+u}du

Je ne suis pas trop sûr pour les bornes, c'est bien ça ?
Y-a-t-il un moyen infaillible de ne pas se tromper ?

Posté par
lafol Moderateurre : Changement de variable 24-05-09 à 22:15

c'est bien ça ! et u²-1 = (u+1)(u-1) ....

Posté par
lafol Moderateurre : Changement de variable 24-05-09 à 22:16

mais pour calculer dx, ça va plus vite de passer par u² = 1+x, donc 2u du = dx ....

Posté par
Dcamdre : Changement de variable 24-05-09 à 22:26

C'est vrai !
Pour le calcul de dx, je l'avais fait.

Cela donne donc

\int_1^{\sqrt{2}}  2u(1-u)du = \int_1^{\sqrt{2}}  (2u - 2u^2) du
soit

\int_1^{\sqrt{2}} 2u du- \int_1^{\sqrt{2}} (1-u)du = [u^2]_1^{\sqrt{2}} - [u - \frac{1}{2} u^2]_1^{\sqrt{2}} = 2 - 1 - (\sqrt{2}-1-1- \frac{1}{2})= \frac{7}{2} + \sqrt{2}

Voilà, j'espère ne pas avoir fait d'erreur

Posté par
Dcamdre : Changement de variable 24-05-09 à 22:27

J'ai l'impression que tout est mal passé... Même le résultat  : 7/2  - 2

Posté par
Dcamdre : Changement de variable 24-05-09 à 22:28

Oh là là désolé : 7/2 - 2

Posté par
lafol Moderateurre : Changement de variable 24-05-09 à 22:30

heu ....
il y a des fautes de signes dans la première ligne, et j'aimerais bien savoir comment tu es passé de la première à la deuxième !

Posté par
Dcamdre : Changement de variable 24-05-09 à 22:31

Je ne sais pas ce qui se passe; la prévisualisation semblait correcte mais là ça a tout inversé.

Posté par
Dcamdre : Changement de variable 24-05-09 à 22:37

Alors, effectivement il y a une faute de signe.

Cela me donne comme résultat final :

1/3 (4 \sqrt{2} - 5)

Posté par
Dcamdre : Changement de variable 24-05-09 à 22:37

le Latex ne passe plus...

1/3 ((racine de 2) - 5)

Posté par
Dcamdre : Changement de variable 24-05-09 à 22:38

Pardon, 1/3 (4*(racine de 2) - 5)

Posté par
Dcamdre : Changement de variable 24-05-09 à 22:40

Sur mozilla, aucun problème.

Posté par
Dcamdre : Changement de variable 24-05-09 à 22:46

Est-ce bon ?

Posté par
lafol Moderateurre : Changement de variable 25-05-09 à 22:27

c'est ok

Posté par
Dcamdre : Changement de variable 29-05-09 à 00:38

Merci ! Désolé de ne pas avoir pu répondre plus tôt ! J'étais en période d'examens.


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