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Changement de variable

Posté par
Newta 22-06-09 à 14:14

Bonjour je suis en train de travailler la correction d'un exo et je ne comprends pas les dérivées partielles secondes avec le changment de variable. On a f(x,t)=g(r,s) avec r=x-ct et s=x+ct. L'équation à résoudre est l'équation de d'Alembert, ie ²f/x²-(1/c²)²f/t²=0
Donc en utilisant le théorème sur la différenciation composée, on obtient f/x=g/r+g/s
et f/t=-cg/r+cg/s

Mais je NE COMPRENDS PAS DU TOUT comment faire les dérivées partielles secondes, ie comment obtenir ²f/x² et ²f/t². Je suis vraiment bloquée dessus depuis des jours, merci de m'expliquer, c'est pas difficile en plus je suis sûre.
Bonne journée.

Posté par
Camélia Correcteurre : Changement de variable 22-06-09 à 14:23

Bonjour

\frac{\partial f}{\partial x} est une fonction des variables x et y pareil que f. Donc si tu as compris son calcul, l'étape suivante est

\frac{\partial ^2f}{\partial x^2}=\frac{\partial}{\partial x}\(\frac{\partial f}{\partial x}\)=\frac{\partial }{\partial r}\(\frac{\partial g}{\partial r}+\frac{\partial g}{\partial s}\)+\frac{\partial }{\partial s}\(\frac{\partial g}{\partial r}+\frac{\partial g}{\partial s}\)=\frac{\partial^2g}{\partial r^2}+2\frac{\partial^2g}{\partial r\partial s}+\frac{\partial^2g}{\partial s^2}

et du même genre pour la suite...

Posté par
Newtare : Changement de variable 22-06-09 à 14:28

Oui voilà là je comprends, mais pour l'autre, la dérivée temporelle, ²f/t², moi j'aurais écrit ²f/t²=c²(²g/r²+²g/s²-2²g/rs) si on suit la même logique, mais dans le corrigé il faut trouver c²(²g/r²+²g/s²) uniquement, il n'y a pas de terme en dérivée croisée ! Et je ne comprends pas où il est passé... lol

Posté par
Camélia Correcteurre : Changement de variable 22-06-09 à 14:53

Je ne sais pas, je suis d'accord avec toi. Quand on revient à l'équation initiale on trouve 4\2g/rs=0, ce qui m'a l'air bien sympa! Mais je n'en sais pas plus...

Posté par
Newtare : Changement de variable 22-06-09 à 14:57

Rolala le calcul différentiel c'est vraiment... différent. Bon je vais mettre ce qui me paraît logique, on verra.... Merci pour ton aide ! Au moins ça me conforte dans ce que je pensais !


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