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Changement de variable dans le calcul d'intégrale
Bonjour à tous !
J'ai un petit problème, je crois bien que je n'ai pas bien saisi le changement de variable dans le calcul d'une intégrale !
Voici un exemple :
dx / x2 + 16
Je pose t = x2 donc dt = 2x
On a donc 1 / t + 16 dt = ln(t+16) = ln(x2+16)
Le problème c'est que ca ne me parait pas logique du tout !
Qu'est ce que j'oublie ?
Merci beaucoup !
Salut,
Disons qu'on travaille sur , avec
.
Si tu poses , alors
et
L'intégrale devient
.... pas facile du tout à intégrer ce bidule.
Conclusion : n'était pas le bon changement de variable
Ici l'idée c'est de reconnaître une forme classique ... pourquoi pas . Donc on va faire apparaître notre 16 en factorisant.
Là on tente le ptit changement de variable soit
et
, d'où :
(et là on voit qu'on peut prendre a et b réels négatifs, ça change rien)
Bonjour Matthy,
Première erreur : << t = x² donc dt = 2x >> est faux. C'est : dt = 2x*dx
donc dx = 2x/dt = 2*(racine carrée de t)*dt
Seconde erreur : tu as remplacé dx par dt, ce qui est faux puisqu'ils ne sont pas égaux.
Donc, en tenant compte de tout, le changement de variable remplace dx/(x²+16) par :
2*(racine carrée de t)*dt/(t+16)
Remarque : ceci pour x>0. Pour le moment, oublions le cas x<0 car ce n'est pas l'essentiel du problème de compréhension qui a été posé.
Excuses, je me suis emmêlé. Reprenons :
Première erreur : << t = x² donc dt = 2x >> est faux. C'est : dt = 2x*dx
donc dx = dt/(2x) = dt/(2*racine carrée de t)
Seconde erreur : tu as remplacé dx par dt, ce qui est faux puisqu'ils ne sont pas égaux.
Donc, en tenant compte de tout, le changement de variable remplace dx/(x²+16) par :
dt/(2*(racine carrée de t)*(t+16))
Remarque : ceci pour x>0. Pour le moment, oublions le cas x<0 car ce n'est pas l'essentiel du problème de compréhension qui a été posé.
Bonjour gui_tou !
Bien sûr, tu as raison : ce n'est pas une bonne idée de faire le changement t=x² dans le cas de cette intégrale. Tu as bien fait d'expliciter la bonne méthode.
Mais je crois que Matthy cherchais surtout à comprendre le principe du changement de variable.
Alors alors moi je chercher et je cherche encore !
Voici une autre intégrale, j'ai essayé de la résoudre suivant vos conseils :
ex / 1 + e2x dx
J'ai posé t = ex, Donc x = ln(t) et dx = dt / t
D'ou ex / 1 + e2x dx = (t / 1 + t2)(1 / t) dt = 1 / 1 + t2 = Arctan(t) = Arctan(ex)
Ai-je bien résonné ? =S
En posant t = e^x
--> dt = e^x dx
Et donc S e^x/(1+e^(2x)) dx = S 1/(1+t²) dt
= arctan(t) = arctan(e^x)
F(x) = arctan(e^x) est UNE primitive de f(x) = e^x/(1+e^(2x))
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Sauf distraction. 
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