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Coefficient a_0 des séries trigonométriques

Posté par
Dcamd 05-01-10 à 13:44

Bonjour,

Soit f de R dans R la fonction 2-périodique à 1 - x²/² sur [-,]

Je voudrais calculer juste le premier coefficient de Fourier a0.

Pour les bornes, ça doit toujours être l'ensemble où la fonction est définie ?
(Dans le cours généralement les bornes de l'intégrale sont 0 et 2)

Mon problème concerne surtout le coefficient devant l'intégrale.

J'ai relevé deux formules :
2a0=02f(t)dt
Pour moi, c'est celle qu'on doit utiliser en utilisant l'intervalle [-,].
Je trouve 2/3.

L'autre formule est :

an=02f(t)cos(nt)dt
Mais il me semble que c'est pour tout n 1.

Donc, si je dois résumer ma question :

Comment connaître le coefficient devant l'intégrale ? (Comment le modifier en fonction de l'intervalle d'intégrabilité ?)
Quelles formules utiliser et quand ?

Merci d'avance pour vos explications.

Dcamd

Posté par
Dcamdre : Coefficient a_0 des séries trigonométriques 05-01-10 à 15:13

Je me suis en fait référé à deux cours qui n'avaient pas les mêmes notations mais à la fin ça revient au même.

On me dit également que cette fonction est C1 par morceaux.
Quelqu'un aurait une justification ?
Pour moi elle est C1 tout court, donc effectivement par morceaux (si on veut la découper ... )

Merci )

Posté par
PILre : Coefficient a_0 des séries trigonométriques 05-01-10 à 15:22

Bonjour,

Si tu as une fonction f(t) périodique de période T, les coefficients de Fourier de f(t) sont :

2$\rm a_o = \frac{1}{T} \int_c^{c+T} f(t)dt   où c est un réel quelconque,

donc ao  est la valeur moyenne de f(t) sur un intervalle-période;

2$\rm a_n = \frac{2}{T} \int_c^{c+T} f(t)cos(n\omega t)dt , b_n = \frac{2}{T} \int_c^{c+T} f(t)sin(n\omega t)dt

où = 2/T.

Donc tu intègres toujours sur un intervalle-période; tu le choisis selon la définition de ta fonction pour avoir le moins de travail ... dans ton exemple c'est clairement [-pi,pi]; (si tu prenais [0,2pi] tu serais obligé de calculer l'expression de f(x) sur [pi,2pi]). De plus, note que tu peux utiliser le fait que ta fonction est paire.

A toi !

Posté par
PILre : Coefficient a_0 des séries trigonométriques 05-01-10 à 15:26

En +k2 la fonction n'est pas dérivable, non ?
Tu devrais desssiner son graphe sur au moins 3 intervalle-période !

Posté par
Dcamdre : Coefficient a_0 des séries trigonométriques 05-01-10 à 15:59

J'ai essayé de calculer le an je sais que je dois arriver sur du (-1)n, mais le soucis c'est qu'à la fin de la deuxième intégration par parties, j'ai -cos(n)+cos(-n)=0....

Je n'ai pas du tout dessiner son graphe ...

Coefficient a_0 des séries trigonométriques

Posté par
Dcamdre : Coefficient a_0 des séries trigonométriques 05-01-10 à 16:00

Je n'arrive pas bien à voir la dérivabilité...

Posté par
PILre : Coefficient a_0 des séries trigonométriques 05-01-10 à 16:46

Pour le graphe : le graphe que tu as dessiné est celui de la fonction g(x) = 1 - (x/)2 avec -10<x<10.  Ta fonction f(x) est égale à cette fonction g(x) pour  -x mais seulement pour ces x; ensuite tu recopies ce graphe entre et 3, puis entre 3 et 5 etc et de même entre -3 et -, entre -5 et -3, etc (tu obtiens un graphe du type ...... si j'ose!).  La fonction f(x) est continue sur , dérivable sauf en les points +k2(points anguleux du graphe).

Pour le calcul de an essaie encore et si ça ne va pas mets-moi le détail !

Posté par
Dcamdre : Coefficient a_0 des séries trigonométriques 05-01-10 à 17:08

J'ai compris pour l'idée du graphe. Et on jugerait de la dérivabilité par l'aspect aux points de rattachements de ces intervalles donc ...

Voilà ce que j'ai fait pour le calcul de an
(Je l'ai recommencé plusieurs fois mais je tombe toujours sur la même chose ... Mais quand je suis déjà passé par un chemin j'ai du mal à birfurquer, je refais à l'identique (erreurs comprises (mais pas "comprises" ! )

\pi a_n= \int_{-\pi}^{\pi}(1-\frac{t^2}{\pi^2})cos(nt)dt
=\int_{-\pi}^{\pi}cos(nt)dt - \int_{-\pi}^{\pi}\frac{t^2}{\pi^2}cos(nt)dt
= - \frac{1}{\pi^2}\int_{-\pi}^{\pi}t^2cos(nt)dt
On intègre une première fois par parties : (Les fonctions étant continues dérivables sur [-,)
= - \frac{1}{\pi^2}\int_{-\pi}^{\pi}t^2cos(nt)dt
On pose u(t)=t2     u'(t)=2t
        v'(t)=cos(nt)          v(t)=sin(nt)/n
On obtient :

\pi a_n= \frac{1}{\pi^2}\[\frac{2}{n}\int_{-\pi}^{\pi} t sin(nt)dt\]
On intègre une deuxième fois par parties :
On pose u(t)=t               u'(t)=1
        v'(t)=sin(nt)        v(t)=-cos(nt)/n
\pi a_n= \frac{1}{\pi^2}\[\frac{2}{n}\[\frac{-tcos(nt)}{n}]_{-\pi}^{\pi}+\frac{1}{n}\int_{-\pi}^{\pi}cos(nt)dt\]
Soit :
\pi a_n= \frac{1}{\pi^2}\[\frac{2}{n}\[\frac{-tcos(nt)}{n}\]_{-\pi}^{\pi}\]
Et ensuite :
\pi a_n= \frac{1}{\pi^2}\[\frac{2}{n}\[\frac{-\pi cos(n\pi) + \pi cos(-n\pi)}{n}\]\]

Et c'est ici que se pose mon problème.

Posté par
carpediemre : Coefficient a_0 des séries trigonométriques 05-01-10 à 17:31

la fonction cos est paire

salut

Posté par
Dcamdre : Coefficient a_0 des séries trigonométriques 05-01-10 à 17:32

Justement. Donc ça fait 0 ? Parce que j'ai le résultat sur lequel je suis sensé arrivé et ce n'est pas ça.

Posté par
carpediemre : Coefficient a_0 des séries trigonométriques 05-01-10 à 17:35

alors c'est que tu as fait une erreur

Posté par
Dcamdre : Coefficient a_0 des séries trigonométriques 05-01-10 à 17:36

Forcément ! mais où ?

Posté par
carpediemre : Coefficient a_0 des séries trigonométriques 05-01-10 à 17:38

pourquoi supprimes-tu l première intégrale ligne 2-ligne3
primitive cos(nt)...

Posté par
Dcamdre : Coefficient a_0 des séries trigonométriques 05-01-10 à 17:41

Ben je ne penses pas avoir fait d'erreur ici. En fait la primitive est donc sin(nt)/n, celle-ci donnant 0 en pi et -pi. (sin(n)=0)  (Non ?)

Posté par
PILre : Coefficient a_0 des séries trigonométriques 05-01-10 à 17:44

Il y a une faute de signe :

2$\rm [\frac{-tcos(nt)}{n}]_{-\pi}^{+\pi} = \frac{-\pi cos(n\pi) - [-(-\pi)cos(n(-\pi))]}{n} = \frac{-2\pi cos(n\pi)}{n} = ....

Il aurait mieux valu sortir le signe - dès le début. D'autre part, la fonction étant paire tu aurais pu calculer l'intégrale entre 0 et pi et multiplier le résultat par 2  !

Posté par
PILre : Coefficient a_0 des séries trigonométriques 05-01-10 à 17:45

Salut carpediem et bonne année !

Posté par
Dcamdre : Coefficient a_0 des séries trigonométriques 05-01-10 à 17:46

Merci PIL !

Effectivement ...

Posté par
Dcamdre : Coefficient a_0 des séries trigonométriques 05-01-10 à 17:46

Bonne année à vous deux

Posté par
carpediemre : Coefficient a_0 des séries trigonométriques 05-01-10 à 17:47

non c'est nil

mais pour ta 1e IPP tu n'as pas oublier le [uv] par hasard ?

non c'est tj nul

salut PIL

merci à toi aussi mes meilleurs voeux pour 2010

Posté par
carpediemre : Coefficient a_0 des séries trigonométriques 05-01-10 à 17:48

ainsi qu'à Dcamd

Posté par
Dcamdre : Coefficient a_0 des séries trigonométriques 05-01-10 à 17:50

Merci Carpediem

Pour ma première IPP, on a du sin(n), ça donne 0.


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