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Coefficient de conergence d'une suite récurrente
Bonsoir,
Dans un exercice lié à l'exposé 57 d'Oral 1, je dois calculer le coefficient de convergence des deux suites récurrentes définies ci dessous :
1. (un) définie par u0 = 1 et 
n 
, un+1 = 1 / (1 + un).
2. (vn) définie par v0 = 2 et n , vn+1 = 1/2 (vn + 2 / vn).
Le soucis est que je ne vois pas vraiment comment m'y prendre, je souhaiterais avoir un petit coup de pouce pour me mettre sur la voie.
Je vous remercie d'avance. 
On appelle "coefficient de convergence" d'une suite (un) qui converge vers l
le réel 
tel que :
= lim (un+1 - l) / (un - l)
(Je reprends mon message, vu que je me suis un peu emmêlé les pinceaux)
On appelle "coefficient de convergence" d'une suite (un) qui converge vers l le réel tel que :
= lim (un+1 - l) / (un - l) (avec n
+
)
OK. J'ai une solution pour la première.
La limite est une solution du polynôme de degré 2
On appelle la racine concernée par notre convergence (qui est celle qui est positive).
Maintenant, on calcule le rapport :
et ça fait apparaître du :
qui tend vers la dérivée de f au point .
Je te remercie, je vais chercher dans cette direction.
Pour la deuxième, j'ai pas très bien écris la formule, il s'agit plus précisément de :
(vn) définie par v0 = 2 et n , vn+1 = 1/2 * (vn + 2/vn). (je suis néophyte et poste mes premiers messages sur le forum ce soir, faudrait que j'apprenne à écrire de jolies formules)
Cette suite récurrente correspond à la formule d'Héron d'Alexandrie qui permet d'approximer la racine carré de 2.
J'ai repris les calculs du rapport que j'avais déjà fais mais je n'arrive pas à faire apparaître du f(un)/(un-
) (plus particulièrement, j'essaye en vain de faire apparaitre le f(un)).
Oui, tu as raison, il n'apparait pas vraiment, mais presque :
là mon numérateur ressemble bien à , essayons de le faire changer un petit peu :
à partir de là, ça devrait aller... bon courage
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