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combinaisons

Posté par
letonio 24-06-05 à 11:46

Bonjour tout le monde,
Comme mon titre l'indique, je sèche méchamment sur le chapitre des combinaisons. Je trouve le cours de mon bouquin franchement pas clair, et je viens chercher auprès de vous quelques explications plus concrètes.

1ère question:
Etant donné n objets, le nombre de façons de ranger p de ces objets (p inf ou égal à n) est nx....x(n-(p-1)
J'ai besoin d'exemples concrets... Voici l'exemple de mon livre:
Je prends 4 lettres a, b, c, et d. Je cherche à ranger 2 de ces 4 lettres de toutes les manières possibles....J'utilise la formule et c'est magique.
Par contre je ne suis pas tout à fait sûr de bien comprendre quelles sont ces combinaisons. Je suppose que le fait de chercher à ranger 2 de ces 4 lettres n'implique pas que l'on ne peut pas bouger les deux autres... On a donc:
a b c d
a c b d
Mais aussi
b a c d
b a d c
...

J'ai besoin de confirmation ou d'explication...

Autres sujet qui me laisse encore plus perplexe. Je ne comprends rien à la démonstration.

Soit F un ensemble fini de cardinal n (c'est quoi un cardinal à part un sous-pape)et p un naturel compris entre 0 et n. Je vous écrit la démonstration du bouquin.

Si l'on ordonne p éléments choisis dans F de toutes les façons possibles, le nombre de ces rangements est
L= nx...x(n-(p-1))       (là à priori je comprends)

Or une combinaison de ces p objets, partie non ordonnée de F, conduit à p! rangements différents (ok...)

Pour obtenir le nombre des combinaisons, il faut donc diviser L par p! (et là pas du tout ok... je ne comprends pas)

J'ai besoin je crois d'exemple (s) concrets. Pourriez-vous me débloquer?

Posté par
J-P Posteur d'énigmesre : combinaisons 24-06-05 à 13:03

Ne pas confondre Combinaisons, Arrangements et Permutations.

Notions expliquées par des exemples.

1°) Permutations de n objets.

Soit 4 objets appelés a,b,c et d.
On peut les "permuter" et avoir tous les cas suivants (ici l'ordre de rangement est important).

abcd
abdc
acbd
acdb
adbc
adcb
bacd
badc
bcad
bcda
bdac
bdca
cabd
cadb
cbad
cbda
cdab
cdba
dabc
dacb
dbac
dbca
dcab
dcba

On trouve le nombre de PERMUTATIONS possibles de n objets par: P_n = n! = m*(m-1)*...*2
La permutation est donc le nombre de façons qu'il y a de ranger l'ensemble des objets, l'ordre étant pris en considération.

Dans le cas de 4 objets, on trouve P_4 = 48 = 4*3*2 = 24

----------
2°) Arrangements de m objets pris par groupe de n objets.

Soit 4 objets a, b, c et d (m = 4), combien existe t-il de façons de choisir 3 objets parmis les 4 proposés (ici n = 3)
Dans ce cas, l'ordre des objets est important, (donc le groupe d'objets a+b+c est considéré différent du groupe b+a+c par exemple)

Les possibilités sont:
abc
acb
bac
bca
cab
cba
abd
adb
bad
bda
dab
dba
acd
adc
cad
cda
dac
dca
bcd
bdc
cbd
cdb
dbc
dcb

On trouve le nombre d'ARRANGEMENTS possibles de m objets pris par groupe de n par: A_m^n = \frac{m!}{(m-n)!}

Dans le cas de 4 objets pris par groupe de 3, on a A_4^3 = \frac{4!}{(4-3!} = 24

----------
3°) Combinaisons de m objets pris par groupe de n objets.

Soit 4 objets a, b, c et d (m = 4), combien existe t-il de façons de choisir 3 objets parmis les 4 proposés (ici n = 3)
Dans ce cas, l'ordre des objets n'est pas important, (donc le groupe d'objets a+b+c est considéré identique au groupe b+a+c par exemple)

les possibilités sont:
abc
abd
acd
bcd

On trouve le nombre de COMBINAISONS possibles de m objets pris par groupe de n par: C_m^n = \frac{m!}{n!.(m-n)!}

Dans le cas de 4 objets pris par groupe de 3, on a C_4^3 = \frac{4!}{3!.(4-3!} = 4
---------------

Si on considère
a) Les permutations de n objets, on a: P_n = n!

b) Les Arrangement de m objets pris par groupe de n objets, on a: A_m^n = \frac{m!}{(m-n)!}

c) Les Combinaisons de m objets pris par groupe de n objets, on a: C_m^n = \frac{m!}{n!(m-n)!}

Et on constate donc que: C_m^n = \frac{A_m^n}{P_n}
---------------

J'ai utilisé les notations avec lesquelles je suis habitué et qui étaient les seules existantes il y a 40 ans, je ne me mouille pas pour utiliser les notations actuelles.

-----
Sauf distraction.  

Posté par
letoniore : combinaisons 24-06-05 à 13:47

J-P mon sauveur! Tu m'as évité la corde.

Tu peux m'expliquer pourquoi dans mon bouquin ils ne sont  pas foutus d'expliquer ces notions de permutations arrangements combinaisons?
Tu devrais songer à écrire un livre

Posté par
letoniore : combinaisons 24-06-05 à 13:49

J'ai enregistré ton post sous word pour pouvoir me le relire pendant mes longues soirées d'hiver

Posté par
letoniore : combinaisons 25-06-05 à 09:54

J-P, ce que tu as écrit est clair. Par contre, j'essaie de retrouver les formules du 2) et 3), et je n'y arrive pas. Je n'arrive pas à concevoir d'où elles viennent. Est ce que quelqu'un peut m'éclairer?

Posté par papanoel (invité)re : combinaisons 25-06-05 à 10:01

Salue,
ce sont des formule de cours, ca ne s invente pas.

Posté par
letoniore : combinaisons 25-06-05 à 10:04

J'ai horreur des formules dont je ne comprends pas d'où elles viennent. Je préfère passer deux heures à éclaircir ça plutôt que 5 min à les apprendre...

Posté par papanoel (invité)re : combinaisons 25-06-05 à 10:17

si tu aime faire du comptage, tu as des heures a perdre. Ce sont des formules qui depassent ton niveau d etude et le miens.

Posté par
letoniore : combinaisons 25-06-05 à 10:30

Ok c'est ce que je craignais. Mais finalement c'est plus confortable de me dire que je n'ai pas besoin d'y passer deux heures.

Posté par
Belge-FDLEre : combinaisons 27-06-05 à 01:51

Salut letonio ,

Sans faire de véritable démonstration, je pense que l' on peut comprendre relativement faciement d'où viennent ces formules.

Pour les permutations : Permuter des objets, c'est les ranger dans un ordre bien précis. Si l'on a 'n' objets différents, alors, on peut attribuer la première place de cet ordre à n'importe lequel de ces 'n' objets : on a donc 'n' possibilités pour choisir le premier objet. Pour choisir le second, comme on a déjà préalablement choisi le premier objet, il ne reste plus que 'n-1' objets à choisir, et aisni de suite jusqu'à ce qu'il ne reste plus aucun objet à classer.
Le nombre de permutations possibles de 'n' objets est donc :

2$\rm~n\times(n-1)\times(n-2)\times...\times3\times2\times1~=~n!

Pour les arrangements : C'est exactement le même raisonnement. En fait, un arrangement consite en quelaue sorte en une permutation limitée.
Par exemple, tu as 4 objets, mais tu en prends uniquement 3 que tu ranges dans un ordre précis : dans ce cs précis on parle d'un arrangement de 3 objets parmis 4.
Si tu veux arranger 'p' objets parmis 'n', alors, pour choisir le prmier, tu as 'n' possibilités, puis 'n-1' possibilités pour le second, 'n-2' pour le troisième ... et enfin 'n-(p-1) = n-p+1' pour le p-ième objet.
On a donc un nombre total d'arrangements égal à :

2$\rm~n\times(n-1)\times(n-2)\times...\times(n-p+2)\times(n-p+1)~=~\frac{n!}{(n-p)!}

Voilà, j'espère que ceci pourra t'aider .

A +

Posté par
letoniore : combinaisons 27-06-05 à 09:50

Merci, pour les arrangements c'est plus clair. Et pour les combinaisons?

Posté par
lyonnaisre : combinaisons 27-06-05 à 10:05

salut letonio :

Prenons un ensemble à p éléments. Il y a donc :  \(\array{n\\p}\) choix possibles.

Maintenant classons les p éléments. Il y a p! classements possible.
Ce qui nous fait donc : \(\array{n\\p}\)\time p!   listes de p éléments deux à deux distincts.

Mais il y en a aussi : n\time (n-1)\time ...\time (n-p-1) car à chaque fois que l'on en choisis un, il y a une place en moins. D'où :

\(\array{n\\p}\)\time p! =n\time (n-1)\time ...\time (n-p-1)

<=>  3$ \rm \blue \fbox{\(\array{n\\p}\)=\frac{n\time (n-1)\time ...\time (n-p-1)}{p!}}

soit encore :

3$ \(\array{n\\p}\)=\frac{n\time (n-1)\time ...\time (n-p-1)}{p!}\time \frac{(n-p)(n-p-1)...\time 2\time 1}{(n-p)(n-p-1)...\time 2 \time 1}

<=>  4$ \rm \magenta \fbox{\(\array{n\\p}\)=\frac{n!}{p!(n-p)!}}

@+ sur l'
lyonnais

Posté par
SquaLre : combinaisons 27-06-05 à 10:48

Bonjour,

Juste une petite erreur lyonnais, il s'agit plutot de n\time (n-1)\time ...\time (n-p+1)

Et donc par la suite: 3$ \(\array{n\\p}\)=\frac{n\time (n-1)\time ...\time (n-p+1)}{p!}\time \frac{(n-p)(n-p-1)...\time 2\time 1}{(n-p)(n-p-1)...\time 2 \time 1}
On retrouve bien maintenant n! au numérateur

A+

Posté par
lyonnaisre : combinaisons 27-06-05 à 15:00

Ah oui, tu as raison SquaL : merci pour la remarque

j'ai été vérifier dans mon cours et c'est bien ça. Je recommence donc pour que ce soit clair pour letonio

Prenons un ensemble à p éléments. Il y a donc : \(\array{n\\p}\) choix possibles.

Maintenant classons les p éléments. Il y a p! classements possible.
Ce qui nous fait donc :  \(\array{n\\p}\)\time p!   listes de p éléments deux à deux distincts.

Mais il y en a aussi : n\time (n-1)\time ...\time (n-p+1)  car à chaque fois que l'on en choisis un, il y a une place en moins. D'où :

\(\array{n\\p}\)\time p! =n\time (n-1)\time ...\time (n-p+1)

<=>  3$ \rm \blue \fbox{\(\array{n\\p}\)=\frac{n\time (n-1)\time ...\time (n-p+1)}{p!}}

soit encore :

3$ \(\array{n\\p}\)=\frac{n\time (n-1)\time ...\time (n-p+1)}{p!}\time \frac{(n-p)(n-p-1)...\time 2\time 1}{(n-p)(n-p-1)...\time 2 \time 1}

<=>   4$ \rm \magenta \fbox{\(\array{n\\p}\)=\frac{n!}{p!(n-p)!}}

@+ sur l'
lyonnais

Posté par
letoniore : combinaisons 09-07-05 à 17:19

Je reprends après une longue interruption la démonstration de lyonnais. J'ai besoin d'un certain nombre d'éclaicissement...

" p parmi n " indique le nombre de combinaisons possibles.
Mais pour la deuxième étapes, je ne comprends pas. Qu'est ce qu'on appelle des éléments deux à deux distincts? Et comment on arrive à ce résultat?

Posté par
letoniore : combinaisons 09-07-05 à 19:54

?

Posté par
borneore : combinaisons 27-01-07 à 20:24

Je fais remonter cet excellent topic, car je crois qu'il y a pas mal d'exos là-dessus en ce moment  

Posté par
borneore : combinaisons 22-02-07 à 21:47

Je remonte encore. Tous ceux qui bossent là-dessus, mettez ce topic dans vos favoris

Posté par
borneore : combinaisons 09-02-08 à 19:34

Up pour ce classique  

Posté par
yellowman la difference les tois 15-10-08 à 14:36

SALUT J-P tes formules son pour quelle serie ?         MOI je suis en Tale Experimentale en cote d"ivoire

Posté par
borneore : combinaisons 16-10-08 à 13:43

Je pense qu'elles sont universelles  

Posté par
borneore : combinaisons 28-03-10 à 21:01

UP pour cet excellent topic  


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