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combinaisons, sommes

Posté par
gilles3 15-09-09 à 18:42

Bonjour, j'ai un exercice à faire, mais je ne vois pas du tout comment faire:

Soit m un entier naturel non nul.

Exprimer de deux façons suivantes (1+i)^{2m} pour calculer:

S=\displaystyle{\sum_{p=0}^m (-1)^p C_{2m}^{2p}}

T=\sum_{p=0}^{m-1} (-1)^p C_{2m+1}^{2p}.

J'ai pensé à calculer d'abord (1+i)^m=\sum_{p=0}^m C_m^p i^p, mais si on élève le tout au carré, je vois pas trop comment s'en sortir:

(1+i)^{2m}=\left(\sum_{p=0}^m C_m^p i^p\right)^2, expression qu'on ne peut pas développer.

Posté par
MatheuxMatoure : combinaisons, sommes 15-09-09 à 18:43

bonsoir

dans ton développement de (1+i)n , sépare les parties réelles et imaginaires !

Posté par
MatheuxMatoure : combinaisons, sommes 15-09-09 à 18:44

pardon : développe (1+i)2m plutôt ! et sépare parties réelles et imaginaires

Posté par
MatheuxMatoure : combinaisons, sommes 15-09-09 à 18:47

et utilise plutôt k comme indice courant car après il faut faire un changement d'indice.

Posté par
gilles3re : combinaisons, sommes 15-09-09 à 18:52

Peut-êre

Alors (1+i)^{2m}= \sum_{k=0}^{2m} C_{2m}^k i^k

Si k est pair, alors k=2p, p entier naturel et i^k = (-1)^p

Si k est impair, alors k=2p+1, et i^k = i(-1)^p

Donc \displaystyle{(1+i)^{2m}= \sum_{p=0, p \text{pair}}^{2m} C_{2m}^{2p} (-1)^p+i \sum_{p=0, p \text{impair}}^{2m} C_{2m}^{2p+1} (-1)^p}

et là je n'obtient pas S+iT

Posté par
gilles3re : combinaisons, sommes 15-09-09 à 18:55

Ah si on obtient bien S+iT.

Je vois pas trop comment calculer de la deuxième manière.

Posté par
MatheuxMatoure : combinaisons, sommes 15-09-09 à 18:58

ben non... qu'est ce que c'est que ces indications "p pair" ou "p impair " ???

c'est k qui était trié pair ou impair

p varie de 0 à m  (pour le cas k pair) ou de 0 à m-1 pour le cas k impair

Posté par
MatheuxMatoure : combinaisons, sommes 15-09-09 à 19:02

et tu es sûr du T dans ton énoncé (premier post)... ce n'est pas plutôt une combinaison de (2p+1) parmi (2m) ???

Posté par
MatheuxMatoure : combinaisons, sommes 15-09-09 à 19:04

dans ton post de 18:52, le résultat écrit est faux...

dans ta première somme, p varie de 0 à m

et dans ta deuxième, p varie de 0 à m-1

si tu rectifies l'erreur sur l'énoncé de T, alors tu obtiens bien S+iT

Posté par
gilles3re : combinaisons, sommes 15-09-09 à 19:18

il ne s'agit pas d'une erreur de l'énoncé.

je ne suis pas sûr, mais je pense que c'est bon; en effet, \sum_{p=0}^{m} (-1)^p C_{2m}^{2p} = \sum_{p=0}^{2m} (-1)^p C_{2m}^{2p}

Car \sum_{p=0}^{2m} (-1)^p C_{2m}^{2p}=\sum_{p=0}^{m} (-1)^p C_{2m}^{2p}+\sum_{p=m+1}^{2m} (-1)^p C_{2m}^{2p}

comme 0<k<2m, on a 0<p<m. Donc, pour m<p<2m, C_{2m}^{2p} = 0

Posté par
MatheuxMatoure : combinaisons, sommes 15-09-09 à 19:23

mais non !!!

si k = 2p et que k est entre 0 et 2m, il est évident que p varie de 0 à m !!!!

et si k=2p+1 et que k est entre 0 et 2m, alors p varie de 0 à (m-1)

pourquoi compliquer les choses !!!!

Posté par
MatheuxMatoure : combinaisons, sommes 15-09-09 à 19:26

et je continue à penser que dans la définition de T, il s'agit en fait de combinaisons de 2p+1 parmi 2m et non de 2p parmi (2m+1)

MM

Posté par
gilles3re : combinaisons, sommes 15-09-09 à 19:26

je comprends plus en réalité.

Est-ce que l'égalité suivante est vraie alors:

\displaystyle{\sum_{p=0}^m (-1)^p C_{2m}^{2p}}=\displaystyle{\sum_{p=0}^{2m} (-1)^p C_{2m}^{2p}}

Posté par
MatheuxMatoure : combinaisons, sommes 15-09-09 à 19:27

oui, mais on s'en moque, elle ne nous est d'aucune utilité et hors sujet ici !

Posté par
gilles3re : combinaisons, sommes 15-09-09 à 19:50

Donc (1+i)^2=2e^{i\frac{\pi}{2}}.

(1+i)^{2m}=2^m e^{i\frac{\pi}{2}m}=2^m \cos \frac{\pi}{2}m + i 2^m \sin \frac{\pi}{2}m= 2^m \cos \frac{\pi}{2}m + i 2^m \sin \frac{\pi}{2}m.

ie S= 2^m \cos \frac{\pi}{2}m et T=2^m \sin \frac{\pi}{2}m.

Posté par
MatheuxMatoure : combinaisons, sommes 15-09-09 à 22:40

voilà... tout ceci étant à remettre dans l'ordre et bien clair au niveau des indices

MM


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