Bonjour, Australia

La méthode générale pour étudier une suite récurrente   u_{n+1}=f(u_n) est d'étudier la fonction    f(x)=x (dérivée, tableau de variation, tracé, intersection avec la droite y=x).
Ensuite, on conjecture graphiquement le comportement de la suite (u_n) et on essaye de faire la démonstration ensuite.

Pour les suites récurrentes homographiques     il y a une méthode plus rapide, mais cette méthode n'est pas à connaître.

Ok merci !

Donc, j'ai commencé à faire cette étude, que voici.

f(x) = 1 / (2x+1)

On cherche les points fixes :
On résout cette équation : x = 1 / (2x+1) et on trouve comme points fixes : -1 et 0.5.
Donc si la suite converge elle ne peut converger que vers 0.5, car S_n > 0.

(là pour montrer que c'est ce point fixe, je ne suis pas très sur, est-ce que quelqu'un pourrait me dire si ma démonstration est correcte ?)

Ensuite, on dérive f(x).
Soit f'(x) = -2 / (2x+1)²
On en déduit alors que la dérivée s'annule pour 1/2. Et qu'elle est décroissante sur ]-; 1/2[ et aussi sur ] 1/2 ; [.

Après avoir fait cette étude, je ne vois pas trop comment continuer ma démonstration ?

Merci d'avance !

On remarque donc que f est décroissante.
Donc,  f o f est croissante.
s_1=1/3
s_2=3/5
On a donc   s_2 < s_0
En utilisant le fait que  fof est croissante, on démontre par récurrence que s_(2n+2) < s_(2n).

La suite (s_(2n)) est donc décroissante minorée par 0. Elle converge donc vers un limite l positive. Cette limite l vérifie    l = fof (l)   puisque   fof est continue. En résolvant l'équation, on trouve donc que   l=1/2.
Alors, comme  s_(2n+1)=f(s_(2n)),  s_(2n+1) converge vers f(l)=1/2.

Les suites   s_(2n) et s_(2n+1) convergeant vers la même limite, la suite (s_n) est convergente.

hum n'y vois nulle offence dans mes propos mais ...

il font ce genre de maths la en école d'ingé ???

bye

Pour etudier ce genre de suite, les suites recurrentes, tu peux aller voir BRAISE une base d' exercices en ligne, en libre acces, avec de l'aide et des methodes : BRAISE
choisir le chapitre suites puis les exercices par mots clefs, le theme un+1=f(un) valider
l'exercice3.1 permet de voir les différentes méthodes. les exercices 3.12 et 3.13 sont tout à fait du meme genre et te donnerons de bonnes idées pour traiter ta suite.

Merci pour le lien apaugam !