Niveau terminale

complexe

Posté par
Moicguillaume 28-02-07 à 15:39

salutation j'ai besoin d'aide pour prouver que la fonction :
g(x)=exp(-2x)+2exp(-x) est le résultat d'une rotation d'angle /2 de la fonction f(x)=ln((1+x)-1)

je ne vois pas du tout comment faire pourriez vous m'aider, merci d'avance.

Posté par re : complexe 01-03-07 à 01:15

Bonsoir

Une idée :

Soit M un point quelconque de Cf

M a pour affixe : $3$\rm z=x+iln(\sqrt{1+x}-1)$

L'image M' de M par la rotation de centre O(0,0) et d'angle $3$\rm \frac{\pi}{2}$ a pour affixe : $3$\rm z'=e^{i\frac{\pi}{2}}z$ , ou encore $3$\rm z'=iz$

On obtient donc :
$3$\rm z'=-ln(\sqrt{1+x}-1)+ix$

les points M' ont donc pour coordonnées $3$\rm (-ln(\sqrt{1+x}-1),x)$
On cherche une fonction g telle que :
$3$\rm g(-ln(\sqrt{1+x}-1))=x$
Il s'agit donc de trouver la réciproque de la fonction $3$\rm x\to -ln(\sqrt{1+x}-1)$
Résolvons alors :
$3$\rm -ln(\sqrt{1+x}-1)=t$
Cela donne :
$3$\rm \sqrt{1+x}-1=e^{-t}$
Soit
$3$\rm 1+x=(e^{-t}+1)^{2}$
ie
$3$\rm x=e^{-2t}+2e^{t}$ Magique

Les points M' ont donc pour coordonnées $3$\rm (t,e^{-2t}+2e^{t})$ et par conséquent appartiennent à la courbe de g.

On a donc prouver que l'image de Cf par notre rotation était Cg.

Posté par re : complexe 01-03-07 à 01:43

jff

Posté par re : complexe 01-03-07 à 01:45

Où ça garnouille?

Posté par re : complexe 01-03-07 à 01:56

nulle part, c'était pour rire!!!

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