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Complexes

Posté par
boufi4 02-03-07 à 16:03

Bonjour je suis une élève de terminale S et j'ai un DL de maths on va dire difficile ca va faire une semaine et demi que je suis dessus. Je remercie en avance les personnes qui pourront me répondre , m'aider...Voici l'éxercice

On note E l'équation : x(au cube) = 15x + 4
1 - Conjoncturer le nombre de solutions de (E) et préciser le signe de chacune d'elles.
2 - A) Montrer que pour trouver une solution de ( E) il suffit de trouver U et V solutions de l'équation X(au carré) - 4X + 125 = 0 ( équation 2)
    B) Vérifier que l'équation 2 n'a pas de solution réelle (sans passer par )
3) soit ( Q) l'équation : (1+iz) au cube *(1-itan ) = (1-iz)au cube*( 1+itan)
   A) Montrer qu'il éxiste un unique réel   ]-/2 ; /2[ tel que z = tan
    B) exprimer (1 + itan) / (1-itan) en fonction de exp(i)
   Je vous en remercie encore à l'avance bonne journée

Posté par
lafol Moderateurre : Complexes 02-03-07 à 16:11

Bonjour,
question 1 : tu traces sur ta calculette x^3 - 15x - 4, tu vois que la courbe coupe l'axe trois fois : trois solutions, une entre -4 et -3, une entre -1 et 0 et la dernière environ = 4

Posté par
boufi4re : Complexes 04-03-07 à 18:10

Bonjour je voulez vous remercier lafol merci pour l'éclairage
et les autres questions vous n'avez pas une piste  à me donner?
merci quand même!

Posté par
lafol Moderateurre : Complexes 05-03-07 à 09:39

Suite à la question 1, on regarde si 4 est vraiment racine : 4 au cube = 16*4 = 64, et 15*4 + 4 = 64, donc 4 est racine. On peut donc mettre x-4 en facteur dans l'équation.
x^3-15x-4=(x-4)(x^2+4x+1)=(x-4)((x+2)^2-3)=(x-4)(x+2-\sqrt{3})(x+2+\sqrt{3})

On peut donc calculer exactement les solutions de l'équation, et je ne vois pas bien où veut en venir la deuxième question SAUF SI tu as vu en classe une méthode de résolution des équations du type x^3=px+q ? si oui, explique ce que tu connais, qu'on voie ensemble ce qu'on peut en faire

Posté par
lafol Moderateurre : Complexes 05-03-07 à 09:52

sinon, l'équation (2) s'écrivant (x-2)²+11²=0 n'a aucune solution réelle.
mais encore une fois, je ne vois pas bien l'intérêt d'aller chercher la méthode de Cardan quand on peut avoir les solutions par une méthode élémentaire ...

Posté par
lafol Moderateurre : Complexes 05-03-07 à 09:59

Question 3 : A : tu ne le dis pas, mais j'imagine que z est réel ? si oui, utilise la fonction tangente continue et strictement croissante de ]-pi/2 ; pi/2[ dans IR.
B: 3$\frac{1+i\tan\alpha}{1-i\tan\alpha}= \frac{\cos\alpha+i\sin\alpha}{\cos\alpha-i\sin\alpha}= \frac{e^{i\alpha}}{e^{-i\alpha}}=e^{2i\alpha}
l'équation proposée s'écrivant \(\frac{1+i\tan\phi}{1-i\tan\phi}\)^3=\frac{1+i\tan\alpha}{1-i\tan\alpha}
en passant par les écritures exponentielles, tu pourras terminer.

Posté par
boufi4re : Complexes 08-03-07 à 11:56

Je voulez vous remercier pour votre aide précieuse je vais regarder vos pistes qui pourront me permettre de répondre aux questions...
En fait le DL était comme vous avez dit sur la méthode cardan et sur l'introduction du nombre i par BOMBELLI.
Encore une fois merci


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