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complexes
bonsoir maurreen a eu une question à laquelle elle n'a pas réussi à répondre.Quelqu'un lui a répondu mais moi j'étais sur un autre site et la personne qui m'a répondu ne m'a pas donné la même méthode pour réussir celle ci me parait plus logique! mais à la fin je trouve le même résultat alors serait-il possible qu'on m'explique pourquoi l'autre est passé en forme exponentielle
lui m'avait dit Z^3=-8 dc z^3=-8e^((2ikpi)/3)
z=-2e^((2ikpi)/3) ensuite il a de suite dit lorsque k=0 k=1 k=2 puis il a fait les calculs mais comment a t il trouvé k ? merci beaucoup à celui qui répondra
bonsoir!
tout d'abord -8 n'est egal a -8e^((2ikpi)/3).
ensuite,poste moi le problème entier SVP
bonsoir et merci
on considère le nombre complexe z=1-iracine de 3
a) écrire z sous forme trigo
b) calculer z² z^3
c) en déduire z^1992 puis z^1994
2a) résoudre z^3+8=0
3)en déduire ds C (iz-1)^3+8=0 donner les résultats sous forme algébrique
bonsoir
je resouds algebriquement l'equation : z^3 = -8
ssi z^3+ 8=0
or a^3 + b^3 = (a+b)( a² - ab + b²)
donc: z^3+ 8 = ( z + 2) ( z² - 2 z + 4)
donc : z^3 + 8 =0 ssi z+2 =0 ou z² - 2 z + 4 =0
ssi z = -2 ou (z-1)² +3 =0
ssi z=-2 ou (z-1)² - ( i racine (3))² =0 (car i²=-1)
ssi z=-2 ou (z-1 -i racine(3))( z-1 +iracine(3))=0
ssi z=-2 ou z= 1+iracine(3) ou z=1-iracine(3)
resolution geometrique de l'equation : z^3 = -8
on pose : z= r( cos θ + i sin θ )
Donc z ^3 = r ^3 ( cos 3 θ + i sin 3 θ ) (De moivre) - 8 = 8(-1) = 8(cos π + i sin π ) = 8 expon ( i π )
donc: r ^3 ( cos 3 θ + i sin 3 θ )= 8(cos π + i sin π )
ssi r ^3 = 8 et 3 θ = π + 2kπ avec k= 0 , 1 , 2
pourquoi on se limite seulement à ces valeurs de k ?
pour les autres valeurs de k , on trouve la meme chose , car les fonctions cos et sinb sont periodiques de periode 2π
donc r=2 ( car 2^3 =8) et θ =π + 2kπ /3 avec k= 0 , 1 , 2
donc : z = 2( cos ( π + 2kπ /3 ) +i sin ( π + 2kπ /3 ) avec k= 0 , 1 , 2
ou bien : z = 2 expon ( i (π + 2kπ /3 )) avec k= 0 , 1 , 2
bon courage
en déduire ds C : (iz-1)^3+8=0
on pose Z = iz-1 , donc l'equation devient : Z^3 + 8 =0 , qu'on a resolu
precedemment , et donc Z =-2 ou Z = 1+iracine(3) ou Z =1-iracine(3)
donc : iz-1 =-2 ou iz-1 =1+iracine (3) ou iz-1 = 1-iracine (3)
donc : iz =-1 ou iz = 2 +iracine(3) ou iz= 2-iracine(3)
donc : z = -1/i = i
ou z = 2/i + racine (3) = racine(3) - 2i
ou z = 2/i -racine(3) = - racine (3) - 2i
bon courage
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