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Complexes : transformation produit en somme
Bonjour, voici le sujet
Le but de cet exercice est la résolution dans l'intervalle [0,2] de l'équation.
2sin x- sin 3x= 0
On note i le nombre complexe de module 1 et d'argument
1) Soit x un nombre réel:
a) Développer (eix - e-ix)3 et montrer que :
(eix - e-ix)3 = (e3ix - e-3ix) - 3(eix - e-ix)
b) Transformer l'égalité précédente à l'aide des formules d'Euler et en déduire que :
4sin3x - sin x = 2sin x - sin 3x
2) Résoudre dans l'intervalle [O,2 les équations suivantes :
a) sin x = 0 ; b) sin x = 1/2 ; c) sin x= -1/2
3) En déduire les solutions appartenant à l'intervalle [0, 2] de l'équation
2sin x - sin3 x = 0
Je bloque completement sur la question 1)b)
Quelqu'un pourrai m'aider à me mettre sur la voi? merci bien
salut
ona comme identite remarquable valable dans IR et C /
( a - b ) ^3= a^3 -3a²b + 3ab² - b^3
tu remplaces a par eix et b par e-ix , tu auras :
a^3 = (expon ( ix))^3 = expon ( 3ix)
b^3 = (expon (- ix))^3 = expon ( -3ix)
3ab²= 3 expon ( ix) (expon (-ix) )²
= 3 expon ( ix) expon (-2ix )
= 3 expon ( -ix)
de meme -3a²b = -3 expon (ix) d ou le resultat
b) Transformer l'égalité précédente à l'aide des formules d'Euler et en déduire que :
4sin3x - sin x = 2sin x - sin 3x
d apres les formules d'Euler : ona :
sin x = expon (ix) - expon (-ix) / 2i
donc : ( sin x) ^3 = ( expon (ix) - expon (-ix) / 2i )^3
= (e3ix - e-3ix) - 3(eix - e-ix) / 8i^3
or i^3 = i²i= -i
et expon(ix) - expon (-ix) = 2i sinx
et expon(3ix) - expon (-3ix) = 2i sin3x
donc; ( sin x) ^3 =2i sin3x -3 .2i sinx / -8i ; on simplifie par -2i
= - sin3x + 3 sinx / 4
donc 4 ( sin x) ^3 = - sin3x + 3 sinx , donc :;
4sin3x - sin x = 2sin x - sin 3x
bon courage
si tu as une autre difficulte , tu me le fais savoir
je mexcuse pour la notation puissance que je ne sais pas faire a l aide du clavier , si tu peux mze con seiller ca serait sympa de ta part
=
resolution de lequation : sinx = 0 dans [0 , 2 π ]
ssi x= k π avec k =0 ou k=1 ou k=2
ssi x=0 ou x= π ou x= 2π
b) sin x = 1/2 = sin π /6 = sin 5π /6
donc: x=π /6 ou x=5π /6
c) sin x= -1/2 = sin (7π/6) = sin (11π/6)
donc : x=7π/6 ou x= 11π/6
3) En déduire les solutions appartenant à l'intervalle [0, 2π] de l'équation
2sin x - sin3 x = 0
equivaut 4sin^3(x) - sin x =0
ssi sinx ( 4sin²x -1)=0
ssi sinx (2sinx -1)(2sinx +1)=0
ssi sinx=0 ou sinx= 1/2 ou sinx =-1/2 equations qu on a resolu precedemment
Salut
Jte remerci enormenant du temps que tu as pris pour m'aider, j'ai compris l'exercice maintenant 
Conseil : pour faire les 
tu cliques au dessus du bouton poster le message et la tu peux inserer des symboles mathématiques. Et pour les exposant regarde il y a un symbole x2 pour mettre des exposants
Bonne fin de journée à toi et encore merci 
Sujet Résolu.
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