Niveau terminale

Complexes Ts

Posté par mimick (invité) 30-09-06 à 09:17

Bonjour, J'aimerai avoir un avis sur un exercices:

Démontrer que $\frac{zz'-1}{z'-z)$ est réel (zz_ = z'z'_ = 1 et zz' ) (z_ étant le conjugué de z)

Voila je pense que développer serait une méthode trop longue donc je voudrais savoir s'il y a une astuce ?

Merci

mickael

Posté par re : Complexes Ts 30-09-06 à 09:24

bonjour

$4$Z=\frac{zz'-1}{z-z'}=\frac{(zz'-1)\bar{(z-z')}}{(z-z')\bar{(z-z')}}$

pour montrer Z est réel il faut donc prouver que $(zz'-1)\bar{(z-z')}$ est réel.

D.

Posté par mimick (invité)re : Complexes Ts 30-09-06 à 09:27

Merci je vais essayer

Posté par mimick (invité)re : Complexes Ts 30-09-06 à 09:31

Je trouve que cela est égal a 2c-2a (cela prouve donc que le numératuer est réel ) est ce juste ?

Posté par mimick (invité)re : Complexes Ts 30-09-06 à 09:31

Précision J'ai noté

z = a+bi
z'= c+di

Posté par re : Complexes Ts 30-09-06 à 09:39

$4$(zz'-1)\bar{(z-z')}=\bar{z}zz'-\bar{z'}zz' -\bar{z}+\bar{z'}$

or $4$\bar{z}z=\bar{z'}z'=1$

donc $4$(zz'-1)\bar{(z-z')}=z'-z -\bar{z}+\bar{z'}= (z' +\bar{z'}) -(z +\bar{z})$

que sais tu de $(z +\bar{z})$ ?

D.

Posté par mimick (invité)re : Complexes Ts 30-09-06 à 09:43

Merci mais ce que tu as fait c'est ce que j'ai fait

J'ai trouver a la fin

$4$Z=\frac{2a-2c}{-2ac-2bd}=\frac{a-c}{-ac-bd}$

Ce nombre est bien réel

Merci encore pour cette petite astuce

Mickael

Posté par re : Complexes Ts 30-09-06 à 09:47

c'est vrai, tu avais déjà fait le calcul..

je t'en prie.

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