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concours des symédianes
Bonjour toujours mes problèmes de géométrie aujourd'hui j'ai un exercice sur les symédianes notions inconnues jusque ici.
Enoncé :
ABC est un triangle non aplati, on appelle symédiane issue de A la droite symétrique de la médiane issue de A par rapport à la bissectrice intérieure de l'angle BAC.
1) Démontrer que la symédiane issue de A coupe la droite (BC) en un point que l'on nommera P.
2) Exprimer P comme barycentre de B et C.
3) Démontrer que les 3 symédianes sont concourantes.
Voila et déja je en vois pas l'intérêt de la question 1 sachant que forcément la symédiane coupe (BC) puisqu'elle ne peut pas y être parallèle?
Ensuite pour le reste je bloque j'essaye d'utiliser le centre de gravité isobarycentre du triangle ou alors le milieu de [BC] comme isobarycentre de [BC] mais je ne vois pas comment faire???
Merci à vous
Bonjour
tu dis que la symédiane ne peut pas être parallèle à (BC) : on attend sans doute de toi que tu le jusitifies 
Bonjour
peut etre en introduisant C' symétrique de C par rapport à la bissectrice, il doit etre possible de l'exprimer comme barycentre de A et B, avec des coeff liés aux c^otés du triangle
Bonjour à tous!
Soient et
deux vecteurs du plan, et
le symétrique de
par rapport à
.
En écrivant que v+w est colinéaire à u et v-w orthogonal à u, on trouve .
Appliquons cela à notre exercice en notant a,b,c les longueurs des côtés du triangle.
Le vecteur dirige la médiane AM.
Le vecteur dirige la bissectrice AI.
On en déduit(un peu de calcul) que la symédiane AP est dirigée par .
Le point P est donc barycentre des points B et C affectés des coefficients et
.
Le barycentre de P et de A affecté du coefficient , donc le barycentre des points A, B et C affectés des coefficients
,
et
est donc sur cette symédiane. Il est de même sur les autres symedianes. Les symédianes sont donc concourantes.
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