Bonjour,

Je ne pourrais t'aider que pour la 1ere question puisque je ne suis que en terminal et la suite me dépasse ^^

Si et que , ca veut dire que est décroissante au environ de
De plus donc avant , est positif donc aux alentours de avec des valeurs plus petite que , est croissante.
Et donc que après , est négatif donc aux alentours de avec des valeurs plus grande que , est décroissante

Si est est croissante avant et décroissante après on en déduis que admet un maximum local en

J'espère que tu as compris ce que je voulais te dire

Bonjour,

D'une manière générale, tu peux aussi effectuer le développement limité (si tu as vu ca en cours bien sur) de f au voisinage de a :
Pour tout x proche de a, avec (x)0 quand xa.

Or f'(a)=0 et f''(a)<0, ce qui te permet de montrer que f(a+x)-f(a) est toujours négatif ( toujours pour x proche de a) et donc de conclure

Mais cela n'enlève rien à la solution d'olive_68 qui est toute aussi bien.

, Tu as donc le choix entre la méthode du lycée et la méthode de sup ^^'

Merci à vous deux pour vos raisonements respectifs mais disons que j'étais plus parti en DL puisque on est en plein dedans. Mais j'aprécie beaucoup plus le raisonement niveau terminale

Pour la suite j'aurais dit qu'on peut dire que f"(a)<0 car f admet un maximum local elle est donc concave ?

si f''(a)=0 on a aussi un ML ?

( c'est quoi un ML stp ? )

maximum local désolé

Non attention:
f''(a)=0 n'implique pas que f a un maximum local en a ( la condition nécessaire est d'ailleurs que f''(a)<0 ).

Dans la question 2), on cherche à voir les conséquences sur f''(a) sachant que f est 2 fois dérivable en a et qu'elle présente un maximum local en a.
Ma question était plutôt : si f admet un maximum local en a et tout, f''(a) peut-il être nul ?

Pas grave, Ben la je ne peux plus t'aider ^^  désolé

(Si je peux me permettre je dirais que oui ^^',j'attends de voir ça )

oui f"(a) peut être nul puisque f'(a) l'est. Et à ce moment là ce que peut dire de f"(a) c'est qu'elle est négative ou nulle ?

La réponse est bien "oui",
Soit f 2 fois dérivable en un point a d'un ouvert de R , si f admet un maximum local (resp minimum local ) en a, alors f''(a)0 ( resp f''(a) 0 ).

En fait, quand tu parlais de concavité, la proposition dont tu faisais référence dit : Soit f une fonction deux fois dérivables sur un intervalle I, alors f est concave si et seulement si f''0. Ce qui assure le cas f''(a)=0.

Sinon, tu peux poursuivre avec l'idée des développements limités :
En effet, pour tout x proche de a, on a comme avant : .  Mais si f admet un maximum local en a, alors :
et , d'ou

Apres ma derniere étape, il reste juste une derniere chose à faire.


Ceci dit, dans ton dernier message tu disais que si f'(a) est nul alors f''(a) peut l'être aussi, pourquoi ?

Merciii !!

En fait non, j'ai fais une erreur de raisonement.
Cependant je comprend pas comment avec f"(a)+e(x)=<0  
tu en déduis que f"(a) est négative ou nulle ?

Quelle est la particularité de la fonction epsilon ?

elle est proche de 0 enfin elle tend vers 0 quand x tend vers 0 mais sa peut changé un signe quand meme

Cela n'importe peu puisqu'on a montré que
pour tout x proche de a. Que epsilon oscille ou pas, on s'en moque.

Passe à la limite dans cette expression, et c'est bon, non ?

Vraiment je comprend pas déjà c'est quoi un passage a la limite dans une telle inégalité.

Non mais voila  on sait tous par exemple que 1 -2 <0 et pourtant 1 ne l'est pas et c'est donc sa qui me pose probleme ici

momo4735

Si j'ai bien compris, Narhm à démontré la relation en haut, à savoir :

  

Ce n'est donc pas une relation à démontrer
Ainsi le signe de n'a pas d'influence sur l'inégalité..

Dis moi si je me trompe Narhm

Olive_68,

Certes il a montré ceci mais on veut déduire que f''(a)=<0 et c'est pas à partir de cette inégalité ( selon moi ) que l'on va pouvoir déduire ceci.

Je suis désolé, je n'ai pas du tout compris ta dernière phrase.

Ceci dit je m'explique un peu mieux :

Dans un de tes cours sur Limites et Continuité , tu as montré que
Soient g et h sont deux applications définies sur une partie de et admettant des limites finies en :
Si (resp g<h) au voisinage de a, alors

Ici, on ne sait juste que ou ,

Ca veut dire qu'on peut directement appliquer le théoreme que je viens de rappeler avec et ( application nulle).
Non ?

Ah ouuui merci c'est bon j'ai compris.

Pour ma dernière question qui est une application de ce qui vient d'être vu esque je dois me limiter pour commencer a x> 0 ?

Une idée vite fait :
nommons ton application F.
Clairement, F est . Montrons qu'elle l'est aussi en 0 ainsi que toutes ses dérivées.

Pour tout x différent de 0, la dérivée de |x| est vaut sg(x). Ou sg = signe.

Ainsi tu peux dériver pour tout x différent de 0 la fonction F.
Pour commencer tu peux trouver la dérivée n-ieme de xsin(1/x) et la dérivée n-ieme xexp(-1/|x|).
Elle s'exprime facilement avec la notation 'sg'.
Ensuite, il te suffit d'appliquer la formule de dérivation de Leibniz ( avec f(x)=exp(-1/|x|) et g(x)=sin(1/x) ), après tu majores en module cette somme pour tout n dans par quelque chose qui tend vers 0 en 0.
Tu montres ainsi que F est dérivable à tout ordre de dérivation et par suite .

En fait Leibniz et le reste je pense que cela arrive au niveau de la question " calculer les dérivées successives de f en 0 ". En effet, étant donné que la première question est prolongé l'aplication en une aplication de classe C infini cela suggère à ne pas utiliser les dérivées successives ( je sais pas si je me fais bien comprendre ).
En gros à mon avis ( mais je sais vraiment pas le faire ) c'est détérminer une fonction non plus de R-{0} dans R mais de R dans R  qui a x associe e(-1/|x|) pour x non nul et f(0) = a avec a € R à déterminer explicitement.
Moi c'est comme sa que je le vois.

Merci beaucoup de ton aide.

Pardon j'ai oublié le sin(1/x) dans ma fonction. c'est
x-> sin(1/x)e(-1/|x|) pour x non nul.

Je suis tout à fait d'accord, c'est ce qu'on veut faire.
Dans ce cas, montrons déjà que f peut être prolonger continument en , n'est-ce pas ? ( On a pas le choix pour le cas x=0. )

Reste ensuite à montrer que cette application ainsi définie est . Or on sait déjà qu'elle l'est sur .

Il suffit alors de montrer que existe en 0.

Pour se faire, je te proposais justement de montrer à l'aide de Leibniz  que les dérivées n-ieme de f (parce qu'il nous permet de toutes les avoir sur ) tendent raisonnablement vers une limite finie en 0. Avec Leibniz on s'aperçoit qu'on peut majorer chaque dérivée n-ieme par une application qui tend vers 0 en 0. Voilà qui arrange bien.
Ça te permet par la même occasion de montrer que toutes les dérivées de f sont nulles en 0.

Daccord j'ai bien compris ce qu'on veut montrer mais je ne vois pas comment arrangé la somme des fonctions f et g ( f et g sont les fonctions que tu as définies plus haut ) afin de pouvoir les majorées.

Merci encore de ton aide.

Mince je viens de m'apercevoir que j'avais mal fait un truc.
Bon, on doit pouvoir s'en sortir en faisant comme ceci :

alors
pour tout n dans ,

ou Qn et Rn sont des polyomes de degré 2n ( ca se montre facilement par récurrence )

Ensuite tu peux appliquer Leibniz, tu majores par la valeur absolue :


Or tu constates que , donc ou deg(Pn)=2n.
Il suffit à present d'utiliser les croissances comparées pour montrer que pour tout n dans , |fg⁽ⁿ⁾|0 quand x tend vers 0.

Bon par contre, ma méthode devient tout de suite plus bourine. On peut certainement passer par autre chose mais dans l'immédiat...
Le probleme c'est qu'on ne peut pas faire de développement limite ou autres puisqu'ils utilisent l'hypothese que "f est n-fois dérivable", or c'est ce qu'on veut montrer.

Euh sans passer par le chapitre polynome vu qu'on la pas encore fait c'est possible ?

J'essaie, mais je ne trouve pas de moyen sans passer par les dérivées n-ieme, Leibniz puis les polynomes de justifier que f est bien ...

Je suis désolé c'est peut être ma faute j'avais une question jsute au dessus me demandant les mêmes questions avec la fonction f x-> exp(-1/|x|)  peut être esce une déduction de cette question ?

Ah !
Et comment as-tu justifier qu'elle était ?

euh je n'ait rien réussi à montrer là aussi :s

En ce qui me concerne, je ne vois pas, mise à part montrer que les dérivées n-ieme de exp(-1/|x|) sont de la forme Q_n(1/x).exp(-1/|x|) etc...
D'ailleurs ça ne sollicite pas tant le chapitre sur les polynômes, si tu sais ce qu'est le degré d'un polynôme c'est bon. Il n'y a qu'une récurrence à faire.

Oui mais il nous a demandé de nous limité qu'aux DL et connaissance de terminale...

Bonjour,

en cherchant sur le net la réponse à une question que je me posais, je suis tombé sur ce post de l'île des maths!

Je suis désolé d'avoir à contredire Olive et Narhm, mais la méthode que propose Olive dans son second post ne marche pas:

en effet, f" n'est pas supposée continue en a, par conséquent il se pourrait que f"(a) < 0 sans que f" reste négative dans un voisinage de a. Or, dans un tel cas, on ne peut pas en déduire que f' est décroissante, et la suite du raisonnement ne marche donc pas.

La méthode du DL semble en effet la plus appropriée dans ce cas.

Par ailleurs, je ne pense pas non plus qu'on puisse procéder différemment de ce que propose Narhm pour prouver que f est indéfiniment dérivable en 0.Les polynômes et la récurrence sont de toute façon des outils de Terminale!

Ce serait bien que momo nous confirme que c'est bien ce que son professeur attendait.