Bonsoir,
As tu exprimé les puissances de 3 et de 4 modulo 11 ?

Bonsoir,
Non justement je ne vois pas comment faire;
3^(n+3)= 3^n*9

Et pareil pour 4^(n+2)

Cherche deja les differentes puissances de 3 et de 4 modulo 11 en commençant avec n=0 etc...tu obtiens des valeurs periodiques

Alors pour n=0, le reste de 3(n+3) par 11= 9
                 n=1,  le reste de 3(n+3) par 11=4
                 n=2, le reste de 3(n+3) par 11=1
Donc 3^41(11)

Pour n=0, le reste de 4(4n+2) par 11=5
        n=1  le reste de 4(4n+2) par 11=3
        n=2  le reste de 4(4n+2) par 11=1

salut

philgr22 (que je salut au passage) a donné une première méthode classique ....

une deuxième méthode tout aussi classique est le raisonnement par récurrence ....

il existe une troisième méthode (basée sur la deuxième) pour ceux qui savent calculer ...



et que je donnerai plus tard ....

j'ai oublié de te signaler ton erreur:3³vaut 27 et pas 9....

Et donc garde ton idée en tenant compte de ma remarque de 18h41

Ah oui mince!
Bonsoir Carpediem, on a jamais évoqué le raisonnement par récurrence pour les congurences, une notion qu'on vient à peine d'aborder, mais merci je la garde en tête !

Bonsoir carpe diem ui, la 3) methode est particulierement interessante mais difficile de le guider sans lui donner pratiquement la reponse...

Du coup, ce qui change juste c'est que pour n=0, le reste de 3^(n+3) par 11= 5

Pour n=0, le reste de 4(4n+2) par 11=5
        n=1  le reste de 4(4n+2) par 11=4
        n=2  le reste de 4(4n+2) par 11=1

Je ne comprends pas bien ta derniere intervention ....

Vous m'aviez signalé mon erreur avec 3^3 donc j'ai repris mes calculs

une remarque supplementaire: 4⁴ⁿ⁺² peut s'ecrire en isolant 4⁴ⁿ....c'est à dire (4⁴)ⁿ...

Je dois partir là :je me reconnecte dans la soirée

Donc je viens de revoir mon raisonnement:
3^n1(11)
Donc 3^(n+3)27(11)
Donc 3^(n+3)5(11)

4^n1(11)
donc 4^(4n)1(11)
donc 4^(4n+2)5(11)

Donc 3^(n+3)-4(4n+2) 5(11)-5(11)=0(11)
donc 3^(n+3)-4(4n+2) est divisible par 11

n'importe quoi ...

ce que tu as écrit c'est pas pour tout n !!! mais pour quel (valeur de) n ?

chaisar @ 12-12-2015 à 19:32


Donc je viens de revoir mon raisonnement:
3^n1(11)
Donc 3^(n+3)27(11)
Donc 3^(n+3)5(11)

4^n1(11)
donc 4^(4n)1(11)
donc 4^(4n+2)5(11)

Donc 3^(n+3)-4(4n+2) 5(11)-5(11)=0(11)
donc 3^(n+3)-4(4n+2) est divisible par 11

4^43(11)
donc 4^4n3^n(11)
Donc 4^(4n+2)3^n*16(11)
Donc 4^(4n+2)5(11)

Donc 3^(3n+3) - 4^(4n+2)3^n*27- 3^n*5(11)
Donc c'est égale à 3^n+22 (11)
Or 220(11)
Donc 3^(3n+3) - 4^(4n+2)2^(n) *  x*0 (11)
Donc 3^(3n+3) - 4^(4n+2)0(11)

Tes trois premieres lignes sont correctes :remplace dans l'egalité demandée

On a  4^(4n+2) 3^n*5(11)
Donc :
3^(3n+3) - 4^(4n+2) 3^n *27- 3^n*5(11) 3^n *22(11)

Or 22(11)0(11)
Donc  3^(3n+3) - 4^(4n+2)3^n *0(11)0(11)

oui