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[congruence]
Bonsoir !
J'ai un tit problème de spé maths, ou plutot je butte sur des exos sur les congruences.
Alors voici entre autres un des exercices (ils sont tous _identiques_, donc en ayant la méthode pour un, je pourrais surement faire les autres) :
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- Démontrez que pour tout entier naturel n, 3^2n - 2^n est divisible par 7
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- Démontrez que pour tout entier naturel n : n^7 + 6n 
0 (mod 7)
Merci d'avance 
Bonjour,
Il faut démontrer qu'il existe un relatif k tels que
Initialisation : on montre que le relation est vrai pour n=O
Hérédité : En considérant vraie, on démontre que
est vraie
Conclusion
Bonne chance
Skops 
Salut,
3^2 est congru à 2 modulo 7
donc
3^2n est congru à 2^n modulo 7
2^n est congru à 2^n modulo 7
Donc 3^2n-2^n est congru à 2^n-2^n modulo 7
d'ou le resultat.
Salut,
pour le 1),
On sait que (car 9-2 = 7)
Or si: alors
Donc , d'ou
divisible par 7
Bonne soirée,
David 
Merci de répondre aussi vite
Skops > vous avez utilisé un type de démonstration par récurence, ca m'a l'air de bien fonctionner dans le cas présent, mais l'exercice s'inscrit dans le chapitre des congruences, pensez vous que mon prof pénalisera ?
Merci
bonsoir !
Blackdevil > ca m'a l'air tout a fait astucieux
Merci bien
NOTE : pour le second, c'est pas du tout le meme procédé .. du moins j'imagine.
NOTE 2 : je compte faire les 5 autres exercices (sans compter les deux mis ici) seuls. Pourrais-je vous montrer mes résultats, une fois résolu ?
Merci encore
En relisant votre démonstration, Blackdevil, je comprend pas comment on peut passer de (1) à (2) dans votre dernière ligne de démonstration :
--- Donc (1), d'ou (2) divisible par 7 ---
Merci
Mince, je me suis trompé d'énoncé. Ce n'est pas celui ci :
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- Démontrez que pour tout entier naturel n : n^7 + 6n 0 (mod 7)
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Puisque j'ai réussi a le faire 
Mais plutot celui la :
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- Démontrez que si n n'est pas un multiple de 7, alors n^6 - 1 est un multiple de 7
-----
Désolé.
Salut pnpk,
t'as pas encore vu le theoreme de fermat? sinon la reponse en decoule.
Et si t'as deja montre n^7+6n=0(7) alors n(n^6+6)=0(7) donc n(n^6+6)=7k et 7 ne divise pas n donc 7 divise n^6+6 donc divise n^6+6-7=n^6-1.
Salut Cauchy,
Nan nan, pas encore :-° j'en ai deja assez de Bezout et Gauss 
Pour ta démonstration, ca m'a l'air bien
Bon et bien, avant demain, j'essaye de faire tous les autres exercices pour voir si j'ai compris le principe
Merci bien
Bonsoir à tous !
Je viens comme prévu vous montrer ce que j'ai fais (sur un exercice tout d'abord pour voir si c'est correct).
Ce que j'attend de vous, si vous le pouvez, c'est me dire si ma démonstration est valable et si il y a des erreurs (surtout au niveau de la rédaction). De plus, si vous avez une méthode beaucoup plus simple, ca me permettrai de progresser.
Donc l'exercice était le suivant :
---
Démontrez que pour tout entier n, 5n^3 + n est divisible par 6
---
Résolution :
Le reste dans la division euclidienne par 6 d'un entier est 0,1,2,3,4, ou 5. Cela veut dire que n est congru à 0,1,2,3,4, ou5.
Examinons les différents cas :
Si n
0 [6], alors 5n^3 + n 0 [6] (évident)
Si n
1 [6], alors 5n^3 + n 6 [6], soit
5n^3 + n
0 [6]
Si n
2 [6], alors 5n^3 + n 42 [6].
Comme 7x6 = 42, 5n^3 + n
0 [6]
Si n
3 [6], alors 5n^3 + n 138 [6].
Comme 23x6 = 136, 5n^3 + n
0 [6]
Si n
4 [6], alors 5n^3 + n 324 [6].
Comme 54x6 = 324, 5n^3 + n
0 [6]
Si n
5 [6], alors 5n^3 + n 630 [6].
Comme 105x6 = 630, 5n^3 + n
0 [6]
Ainsi, tous les cas ont aboutit à la meme conclusion. A chaque fois, on a obtenu 5n^3 + n
0 [6].
Donc pour tout entier naturel n, 5n^3 + n est divisible par 6
Voila, merci d'avance pour vos réponses
Encore moi
J'attend toujours une réponse quand au post précédent.
Cependant j'ai avancé dans mes exercices, et le dernier me pose problème !
L'énoncé est le suivant :
---
1) n est un entier relatif. Trouvez tous les restes possibles de la division de n² par 8, puis ceux de la division de 2n² par 8.
2) x et y étant des entiers naturels, trouvez les restes possibles de la division de 2x²+y² par 8
Aide : faites un tableau avec les résultats du 1.
3) Déduisez de la question précédente que, x et y étant des entiers relatifs, l'équation 2x²+y²=5 n'a pas de solution.
---
Ce que j'ai fais :
Donc j'ai trouvé le 1) & 2), et le tableau donne ca :
n n² 2n² 2x²+y²
0 0 0 0
1 1 2 3
2 4 0 4
3 1 2 3
4 0 0 0
5 1 2 3
6 4 0 4
7 1 2 3
(si vous pouviez confirmer !?)
Mais par contre je bloque à la question 3)
Donc si vous pouviez m'aider.
Merci d'avance (n'oubliez pas le post au dessus :p)
pNpk
Bonsoir pnpk,
pour ton premier message c'est correct tu as bien fait tous les cas. Je te propose une autre methode bon elle est pas non plus ici beaucoup plus rapide.
Pour montrer qu'un nombre est divisible par 6 il suffit de montrer qu'il est divisible par 2 et 3.
Montrons que 5n^3+n=n(5n²+1) divisible par 6.
Donc commencons par la division par 2, deux cas n est pair et c'est reglé sinon n impair alors 5n² aussi donc 5n²+1 pair et c'est reglé aussi.
Pour la division par 3, si n divisible par 3 c'est ok. Si n=3k+1 alors 5(3k+1)²+1=5(9k²+1+6k)+1=45k²+30k+6 divisible par 3 donc c'est ok.
Si n=3k+2 alors 5(3k+2)²+1=45k²+60k+21 divisible par 3 donc c'est bon aussi.
Finalement n(5n²+1) est divisible par 6. Je crois que c'est finalement un peu plus rapide.
Ensuite pour ton message suivant je suis d'accord pour n et 2n² par contre quand tu prend x et y on ne te dit pas qu'ils sont congrus au meme nombre modulo 8. Ta troisieme colonne represente plus x²+2x² modulo 8.
Utilises l'indication et fais un tableau a double entrees avec toutes les possibilités pour x et y a l'horizontale et a la verticale et avec le resultat de 2x²+y² modulo 8 dans le tableau.
Pour la 3) utilises que si x et y verifie ton equation alors 2x²+y²=5 donc a 5 modulo 8( et regardes ton tableau...).En fait le tableau c'est vraiment pour détailler mais sinon on voit tout de suite en regardant les deux premieres colonnes du tien qu'on pourra pas avoir 5 en sommant 2 avec 4 ou 1.
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