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Congruences !

Posté par dellys (invité) 24-10-07 à 18:18

Bonjour mathîliennes et mathîliens


Je bloque sur la deuxieme question :


1) Trouver le reste de la division de 3$(63\times 9^{2001}-7^{1422})  par  3$10

(En etudiant les restes de la division de 3^n et 7^n par 10 je suis arrivé à  3$(63\times 9^{2001}-7^{1422})\equiv 8[10]


2) Démonter que pour tout entier naturel 3$n,

3$3n\times 9^n+7^{2n+1}=(n-1)3^{2n+1}[10]




merci d'avance
@pluche!
w@lid

Posté par
xunilre : Congruences ! 24-10-07 à 18:22

salut

1) 9 \equiv -1 [10]

=> 9^{2002}\equiv 1 [10]

=> 7\times 9^{2002] \equiv 7 [10]

or -7^{1422}\equiv0 [10]

donc la somme est congru à 7 modulo 10, le reste est 7 ?

Posté par
xunilre : Congruences ! 24-10-07 à 18:27

laisse tomber j'ai dit n'importe quoi à partir de 7^{1422}

Posté par dellys (invité)re : Congruences ! 24-10-07 à 18:30

Salut xunil

tu as fait une erreur on trouve bien 8 si tu veux je te poste une méthode

mais peux tu m'aider pour la 2)

w@lid

Posté par
xunilre : Congruences ! 24-10-07 à 18:33

si je reprend à partir de : 7\times 9^{2002}\equiv 7 [10]

de plus 49\equiv-1 [10]

7^2 \equiv -1 [10]

7^{1422} \equiv -1 [10]

-7^{1422}\equiv 1[10]

oui tu as raison la somme est bien congru à 8....

Posté par
xunilre : Congruences ! 24-10-07 à 18:33

ok je vais essayer pour la 2) ....

Posté par dellys (invité)re : Congruences ! 24-10-07 à 18:35

9^{2002}\equiv 1[10] \\ 7\times 9^{2002}\equiv 7[10]


7^{1422}\equiv 7^{355.4+2}[10]\equiv 9[10


donc  63\times9^{2001}-7^{1422}\equiv -2[10]\equiv 8[10]

sauf erreur

w@lid

Posté par dellys (invité)re : Congruences ! 24-10-07 à 18:35

ok merci xunil

w@lid

Posté par
cailloux Correcteurre : Congruences ! 24-10-07 à 18:37

Bonjour Dellys,

9\equiv -1\;\;[10]

9^{2001}\equiv -1\;\;[10]

63\equiv 3\;\;[10]

donc 63.9^{2001}\equiv -3\;\;[10]

7^2\equiv -1\;\;[10]

7^1422\equiv (7^2)^{711}\equiv -1\;\;[10]

et 63.9^{2001}-7^1422\equiv -2\equiv 8\;\;[10]

3n9^{n}+7^{2n+1}\equiv n3^{2n+1}+7^{2n+1}\equiv (n-1)3^{2n+1}+7^{2n+1}+3^{2n+1}\equiv (n-1)3^{2n+1}+7(7^2)^n+3(3^2)^n\equiv (n-1)3^{2n+1}+(-1)^n7+(-1)^n3\equiv (n-1)3^{2n+1}+10(-1)^n\equiv (n-1)3^{2n+1}\;\;[10]

Posté par
cailloux Correcteurre : Congruences ! 24-10-07 à 18:38

Bonjour xunil

Posté par dellys (invité)re : Congruences ! 24-10-07 à 18:45

Merci beaucoup cailloux    


w@lid

Posté par dellys (invité)re : Congruences ! 24-10-07 à 18:46

il reste une dernière question je risque de revenir si je ne trouve pas

encore merci cailloux

w@lid

Posté par dellys (invité)re : Congruences ! 24-10-07 à 18:57



je veux trouver les valeurs de n pour lesquelles  3n\times 9^n+7^{2n+1}\equiv0[10]


donc (n-1)3^{2n+1}\equiv 0[10]


tu peux me dire comment faire stp cailoux ? la méthode !


merci
w@lid

Posté par
cailloux Correcteurre : Congruences ! 24-10-07 à 19:04

Re,

Une méthode (un peu pénible): la disjonction des cas:

On travaille modulo 10;

Si n\equiv 0\;\;[10]\;\;n-1\equiv -1\;\;[10] et 2n+1\equiv 1[10] d' où 3^{2n+1}\equiv 3\;\;[10]

et (n-1)3^{2n+1}\equiv -3\equiv 7\;\;[10] et ça ne marche pas.

Si n\equiv 1\;\;[10]\;\;n-1\equiv 0\;\;[10]\cdots

Posté par dellys (invité)re : Congruences ! 24-10-07 à 19:18

Re cailloux


tu as fait :  2n+1\equiv 1[10] d'ou  3^{2n+1}\equiv 3[10]


si je veux généraliser ça c'est :  a\equiv a'[m]   donc  k^a\equiv k^{a'}[m]

c'est bien ça ?


un exemple :  10\equiv 3[7]  donc  3^{10}\equiv 3^{3}[7]  mais ceci est faux  


w@lid

tu peux me dire ou est mon erreur stp

Posté par
cailloux Correcteurre : Congruences ! 24-10-07 à 19:31

Re,

Tu as parfaitement raison et je suis un âne!

(n-1)3^{2n+1}\equiv (n-1)3.(3^{2})^n\equiv (-1)^n3(n-1)\;\;[10]

(n-1)3^{2n+1}\equiv 0\;\;[10]\Longleftrightarrow 3(n-1)\equiv 0\;\;[10]


Je pense que seul n\equiv 1\;\;[10] convient.

A vérifier

Posté par dellys (invité)re : Congruences ! 24-10-07 à 19:43

C'était pas grave cailloux, tu n'es pas un âne quand même


Merci beaucoup grâce a toi j'ai compris


w@lid


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