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Congruences !

Posté par dellys (invité) 24-10-07 à 21:06

Coucou tout le monde  

voilà mon exo :

Trouver les valeurs de l'entier naturel 3$n pour lesquelles 3$(n-1) est un multiple de 3 et en même temps  3$[1+(n-1)2^n] est divisible par 7 !


Je pense qu'on doit trouver les valeurs de n pour lesquelles (n-1) est un multiple de 3, ensuite les valeurs de n pour lesquelles [1+(n-1)2n] est un multiple de 7, puis trouver les valeurs communes c'est bien ça ? y'a-t-il une autre méthode ?

voilà ce que j'ai fait :

*)   (n-1)=3k  donc n=3k+1  (la valeur de n pour laquelle (n-1) est un multiple de 3 est donc n=3k+1 )

**)  Je vais poser [1+(n-1)2n]=a

En divisant n'importe quel entier naturel n par 7 on a 7 restes possibles : 0,1,2,3,4,5,6

si n\equi0[7] j'ai trouvé  a\equiv0[7]
Si n\equiv1[7]   j'ai trouvé  a\equiv1[7]
               .
               .
               .
               .
               .

jusqu'a si n\equiv6[7]

et je n'ai trouvé que deux valeurs pour lesquelles 1+(n-1)2n  est un multiples de 7  :  n=7k'  et  n=7k'+4


Est ce que c'est juste jusqu'ici ? y'a-t-il une autre méthode moins pénible que celle que j'ai utilisé pour trouver les restes de la division par 7 ? Et comment trouver les valeurs communes a la fin ?  


Merci d'avance ! demain j'ai un DS
w@lid

Posté par dellys (invité)re : Congruences ! 24-10-07 à 21:23

Posté par
cailloux Correcteurre : Congruences ! 24-10-07 à 21:24

Re,

Posons n-1=3k

Alors (n-1)2^n+1=3k.2^{3k+1}+1\equiv 3k.2(2^3)^k\equiv 6k\;\;[7]

et 6k\equiv 0\;\;[7] pour k\equiv 0\;\;[7]

Donc k=7k' et n=21k'+1 avec k'\in\mathbb{Z}

Sauf nouvelle erreur

Posté par dellys (invité)re : Congruences ! 24-10-07 à 21:29

Re-salut cailloux ! tu me sauves la vie aujourd'hui ..


Et si on n'avait pas que deux conditions mais 3 ou plus ? on fait comment ?


w@lid

Posté par
dami22suire : Congruences ! 24-10-07 à 21:30

Salut dellys
ta methode est correcte et je suis desole de te dire que je n'en connais pas d'autre plus rapide; et en passant rapidement ton exo je n'ai pas vu de fautes
pour les valeurs communes il faut trouver n qui satisfait   n=7k' ou n=7k'+4   et qui satisfait   n=3k+1
donc je pense que tu peux utiliser une congruence par 21

Posté par
cailloux Correcteurre : Congruences ! 24-10-07 à 21:35

Citation :
Et si on n'avait pas que deux conditions mais 3 ou plus ? on fait comment ?


Ben là, il faudrait envisager une solution comme la tienne avec intersection d' ensembles.

Mais je n' aime pas trop m' aventurer dans le vide

Posté par dellys (invité)re : Congruences ! 24-10-07 à 21:35

Salut dami

Citation :
donc je pense que tu peux utiliser une congruence par 21


comment


w@lid

Posté par dellys (invité)re : Congruences ! 24-10-07 à 21:37

Citation :
Ben là, il faudrait envisager une solution comme la tienne avec intersection d' ensembles


Oui, mais après avoir trouver les valeurs de n pour la première puis la deuxième je ne sais pas comment trouver les valeurs communes .. c'est suremnet bête mais ..


Citation :
Mais je n' aime pas trop m' aventurer dans le vide


:D


w@lid

Posté par dellys (invité)re : Congruences ! 24-10-07 à 21:38

avoir trouvé*

w@lid

Posté par dellys (invité)re : Congruences ! 24-10-07 à 21:43

Cailloux >>  Dans ton post de 21:24 ! tu peux me dire comment tu t'es debarassé du +1  stp  moi je trouve 6k+1  

désolé je demande beaucoup !


w@lid

Posté par
cailloux Correcteurre : Congruences ! 24-10-07 à 21:47

En reprenant ton exercice (j' ai horreur du vide)

\{n=3k'+1\\n=7k avec k et k' entiers revient à résoudre:

7k-3k'=1 qui est une équation diophantienne. Sais-tu la résoudre ?

Posté par dellys (invité)re : Congruences ! 24-10-07 à 21:48

non ! je ne sais pas comment la résoudre

Posté par
cailloux Correcteurre : Congruences ! 24-10-07 à 21:51

Citation :
Dans ton post de 21:24 ! tu peux me dire comment tu t'es debarassé du +1 stp moi je trouve 6k+1


Et tu as encore raison! j' ai oublié le 1 en cours de route...

Du coup k=7k'+1 et n=21k'+4

Posté par dellys (invité)re : Congruences ! 24-10-07 à 21:57

Je ne vois pas comment tu trouves k=7k'+1  non plus ..

Posté par
cailloux Correcteurre : Congruences ! 24-10-07 à 22:14

On a: 6k+1\equiv 0\;\; [7]

Seul, k\equiv 1\;\;[7] convient, c' est à dire k=7k'+1 et n=3k+1=21k'+4 non ?

Posté par dellys (invité)re : Congruences ! 24-10-07 à 22:16

Ah oui merci beaucoup, cailloux, et excuse moi pour le dérangement ..

Je vais faire mon DM de physique puis continuer ces exos !

Bonne soirée
w@lid

Posté par
cailloux Correcteurre : Congruences ! 24-10-07 à 22:20

Bonne soirée à toi


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