j'ai quelques questions qui me bloquent dans mon DM et les résoudre me permettrai de terminer le DM.
4°)a) Montrer que x23 [7] n'admet pas de solution (x).
b) Monter que, pour tous les entiers relatifs a et ,b si 7 divise a2+b2 alors 7 divise a et b.
5°)a,b et c sont trois entiers relartfs non nuls.
Montrer que si le point A (a,b,c) est un point du cône de révolution d'équation cartésienne y2 + z2 = 7x2, alors a,b et c sont divisibles par 7.
merci d'avance.
4)a) la dijonction des cas modulo 7 avec une table des carré.
4)b) Encore une disjonction des cas avec 0,1,2 ou 4 restes possibles de la division d' un carré par 7
5) La desccente infinie de Monsieur Fermat.
4)a)
Si alors
Si alors
Si alors
Si alors
Si alors
Si alors
Si alors
Bref un carré n' est jamais congru à 3 modulo 7.
4)b) avec la table des carrés modulo 7 précédente:
et sont congrus à 0,1,2 ou 4 modulo 7
Si bien que leur somme n' est congrue à 0 modulo 7 que si et
Et toujours avec la table des carrés, un carré est divisible par 7 si et seulement s' il est divisible par 7.
Donc si 7 divise , alors 7 divise et 7 divise
4)c)
est solution.
Si est solution l' est aussi.
On se limite aux entiers naturels:
Supposons qu' il existe un triplet d' entiers naturels non tous nuls tels que:
D' après ce qui précède 7 divise et
Il existe donc et entiers naturels tels que:
et
donc 7 divise et il existe entier naturel tel que
d' où
Et on peut recommencer le processus.
On obtient ainsi 3 suites infinies d' entiers strictement décroissantes.
C' est absurde et la seule solution est
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