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congruences

Posté par
atomic_fallen
01-06-09 à 12:04

j'ai quelques questions qui me bloquent dans mon DM et les résoudre me permettrai de terminer le DM.
4°)a) Montrer que x23 [7] n'admet pas de solution (x).
b) Monter que, pour tous les entiers relatifs a et ,b si 7 divise a2+b2 alors 7 divise a et b.

5°)a,b et c sont trois entiers relartfs non nuls.
Montrer que si le point A (a,b,c) est un point du cône de révolution d'équation cartésienne y2 + z2 = 7x2, alors a,b et c sont divisibles par 7.

merci d'avance.

Posté par
cailloux Correcteur
re : congruences 01-06-09 à 13:08

\red{\text{Bonjour,}}
4)a) la dijonction des cas modulo 7 avec une table des carré.

4)b) Encore une disjonction des cas avec 0,1,2 ou 4 restes possibles de la division d' un carré par 7

5) La desccente infinie de Monsieur Fermat.

Posté par
atomic_fallen
re : congruences 01-06-09 à 15:11

pourriez dévelloper s'il vous plait

Posté par
cailloux Correcteur
re : congruences 01-06-09 à 15:40

4)a)

Si x\equiv 0\;\;[7] alors x^2\equiv 0\;\;[7]

Si x\equiv 1\;\;[7] alors x^2\equiv 1\;\;[7]

Si x\equiv 2\;\;[7] alors x^2\equiv 4\;\;[7]

Si x\equiv 3\;\;[7] alors x^2\equiv 2\;\;[7]

Si x\equiv 4\;\;[7] alors x^2\equiv 2\;\;[7]

Si x\equiv 5\;\;[7] alors x^2\equiv 4\;\;[7]

Si x\equiv 6\;\;[7] alors x^2\equiv 1\;\;[7]

Bref un carré n' est jamais congru à 3 modulo 7.

4)b) avec la table des carrés modulo 7 précédente:

a^2 et b^2 sont congrus à 0,1,2 ou 4 modulo 7

Si bien que leur somme n' est congrue à 0 modulo 7 que si a^2\equiv 0\;\;[7] et b^2\equiv 0\;\;[7]

Et toujours avec la table des carrés, un carré est divisible par 7 si et seulement s' il est divisible par 7.

Donc si 7 divise a^2+b^2, alors 7 divise a et 7 divise b

4)c) y^2+z^2=7x^2

(0,0,0) est solution.

Si (x,y,z) est solution (|x|,|y|,|z|) l' est aussi.

On se limite aux entiers naturels:

Supposons qu' il existe un triplet d' entiers naturels non tous nuls tels que: y^2+z^2=7x^2

D' après ce qui précède 7 divise y et z

Il existe donc y_1 et z_1 entiers naturels tels que:

\{y=7y_1\\z=7x_1

et 7(y_1^2+z_1^2)=x^2

donc 7 divise x^2 et il existe x_1 entier naturel tel que x=7x_1

d' où x_1^2+z_1^2=7x_1^2

Et on peut recommencer le processus.

On obtient ainsi 3 suites infinies d' entiers (x_n),(y_n),(z_n) strictement décroissantes.

C' est absurde et la seule solution est (0,0,0)



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