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Congruences
Pouvez vous m'aider sur ces exo svp ??
1)quel est le reste de la division euclidienne de 12^1527 par 5
2)quel est le reste de la division euclidienne de 2917^541 par 5
3)quel est le reste de la division euclidienne de 6753^811 par 5
4) quels sont les deux derniers chiffres de l'écriture décimale de 51^2006
Merci pour vos réponses
Bonjour,
soit tu utilises le résultat théorique sur le petit théorème de Fermat que a5 - a est divisible par 5
soit tu cherches "à la main" une périodicité sur les exposants pour trouver qu'il existe un certain p tel que an+p = an [modulo 5]
ensuite c'est réduire les exposants modulo cette période p là ...
la question 5 c'est faire pareil modulo 100 (les deux derniers chiffres décimaux de ... c'est le reste de la division par 100)
trouver la périodicité modulo 100 est un peu fastidieux,
on peut utiliser l'extension du petit théorème de Fermat par Euler qui est :
que a
(b) 
1 [b] si a et b sont premiers entre eux (ce qui est le cas de 51 et 100)
et donc la période est un diviseur de (100)
si tu n'as pas vu cet "indicateur d'Euler" inutile de l'invoquer : cela prouverait juste que quelqu'un a fait l'exo à ta place
et dans ce cas, il "suffit" de chercher courageusement à la main cette périodicité ...
(il est bien entendu qu'il faut déja commencer par réduire 12 modulo 5 ... et 6753 modulo 5, hein ... 
)
Oui j'ai trouvé que :
12^1527 est congru à 4 modulo 5
2917^541 est congru à 3 modulo 5
Je cherche encore pour 6753^811 et pour le 4)
Je te donne mes réponses des que j'ai trouvé
12 2 [5] et donc
12^1527 2^1527 2^(4×381+3) (2^4)^381 × 2^3 1^381 × 2^3 2^3 ??? [5]
2917 est congru à 2 modulo 5
et donc 2917^541 2^541 ... 2 [modulo 5] parfaitement.
6753^811 est congru à 3 modulo 5
6753^811
3^811 [5] etc ... (même méthode)
le principe de la méthode est de regarder les puissances successives de par exemple 2, modulo 5
2^0 = 1
1 [5]
2^1 = 2
2 [5]
2^2 = 4
4 [5]
2^3 = 8
3 [5]
2^4 = 16
1 [5] identique modulo 5 à 2^0
la suite reprend donc les restes 1,2,4,3,1,2,4,3,1,2,4,3 etc etc
par conséquent quel que soit n
2^(n+4)
2^n [5]
la périodicité sur les exposants est de 4
de sorte qu'on peut réduire les exposants modulo 4 :
1527
3 [modulo 4] donc
2^1527
2^3 [modulo 5]bonjour : )
12^1527 est congru à 4 modulo 5
Erreur : 2917^541 est congru à 2 modulo 5
6753^811 est congru à 3 modulo 5
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