Bonjour,
J'ai quelques problèmes pour amorcer un exercice de mon DM, dès la première question :

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"On muni le plan orienté d'un repère orthonormé direct R=(O,i,j)
Soit H la courbe d'équation cartésienne 3x²+13y²-10rac(3)xy=2
et C la courbe d'équation x²+y²=1
1-Démontrer qu'il existe un repère orthonormé direct R'=(O,I,J) qu'on précisera dans lequel la courbe H a pour équation 18X²-2Y²=2
2-Justifier que H est une hyperbole et préciser son excentricité
3-Reconnaître la courbe C et en déduire son équation dans R'.
4-Montrer que H et C se coupent en 4 points A,B,C,D dont on donnera les coordonnées dans le repère R'.
5-Prouver que les 4 points A,B,C,D forment un rectangle et donner son aire
6-Donner les coordonnées des sommets, des équations des asymptotes et des équations des tangentes aux sommets de l'hyperbole dans le repère R' puis dans le repère R.
7-Représenter graphiquement H et C avec les asymptotes, les sommets et les tangentes.
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1- H: 3x²+13y²-10rac(3)xy=2
I=cosθi+sinθj
J=-sinθi+cosθj
vecteur OM = xi+yj
Soient (X,Y) les coordonnées de M dans (O,I,J) alors vecteur OM = XI+YJ
<=>xi+yj=(Xcosθ-Ysinθ)i+(Xsinθ+Ycosθ)j
<=> x=Xcosθ-Ysinθ
    y=Xsinθ-Ycosθ
On pose ρ(x,y)=3x²-10rac(3)xy+13y²-2
              =3(X²cos²θ-Y²sin²θ-2XYcosθsinθ)-(10rac(3))(X²cosθsinθ+XYcos²θ-XYsin²θ-Y²sinθcosθ)+13(X²sin²θ-Y²cos²θ-2XYsinθcosθ)-2

Le terme en (x,y) est -10rac(3)cos2θ+(3-13)sin 2θ = -10rac(3)cos2θ-10sin2θ
On veut l'annuler, 3 est différent de 13 donc on résout :
-10rac(3)cos2θ-10sin2θ = 0
... je trouve θ=1/2 * arctan (rac3)

Mais avec ça je ne sais pas comment arriver à l'expression de H dans (O,I,J)
Pourriez-vous m'aider svp ?
Merci d'avance