Bonjour,

C'est quoi c ?

Paramètre ton ellipse par :
X = a.cos(t)
Y = b.sin(t)
t [0,2]
et détermine u et un vecteur tangent en M en fonction de t...

Houlà! C'est bizarre, car dans les cours je ne lis aucune utilisation de cos ou sin... N'y aurait-il pas un autre moyen?

Je crois que c = e.a mais je n'en suis pas sûre... Il n'y a pas d'autre indication dans l'énoncé.

C'est quoi e ?

Yope,
c'est pas c^2=a^2-b^2 et e=c/a ?
Ici a est le demi grand axe, b le demi petit axe et e est l'excentricité.

Probablement...
Ceci dit, pour le pb lui-même, je ne vois que deux voies : paramétrique, mais ça ne plait pas à E_McDo, ou y = b(1-x²/a²), et ça ne me plait pas trop... Tu vois une troisième voie ?

La comme ça, je ne vois pas sans utiliser des formules donnant F et F'. Ceci dit on peut peut-être utiliser MF+MF'=constante.

Oui il doit falloir dire que la dérivée de cette quantité est nulle le long de la tangente.

Oui, mais MF et MF' sont des modules, les dérivées sont affreuses

Non, le gradient de la fonction f(M)=FM+F'M est précisément le vecteur cherché.
.
Le raisonnement géométrique que j'indiquais prouve que ce vecteur est orthogonal à la tangente, qui elle est facile à calculer.

e est bien l'excentricité et 0 < e < 1.

c = a.e = OF.

c² = a² - b².

Données supplémentaires:

MF + MF' = 2a.

L'équation de la tangente à l'ellipse en M₀ (x₀,y₀) est:

xx₀/a² + yy₀/b² = 1 avec 0 < b < a.

Le vecteur directeur de cette tangente est [1,f'(x₀)] avec

f'(x₀) = -b²/a² . x₀/y₀.

Sclormu, que veux-tu dire par "la dérivée de cette quantité est nulle le long de la tangente" (à quoi renvoie le mot "quantité"?) et par "le raisonnement géométrique que j'indiquais"?
Désolée, ce n'est pas aussi évident pour moi (n'ayant pas fait de géométrie depuis la 1ère...).

1) première solution : solution bourrine. Les coordonnées des foyers sont où , tu remplaces, tu calcules, avec toutes les coordonnées un élève de 1ère sait le faire (bon, un bon élève, certes).

2) deuxième solution : il est connu que la distance est constante le long de l'ellipse et égale à 2a. A partir de ça, on en déduit facilement

.

En dérivant cette quantité par rapport à x, puis à y , on obtient le vecteur que tu cherches.

Si la deuxième solution te parait trop difficile, utilise la première.

Bon, je vais essayer (d'y arriver)!

Merci beaucoup!