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Coniques : parabole et courbe orthoptique.
Bonjour!
J'ai un exercice qui me pose quelques problèmes (étant vraiment novice en géométrie) et que je dois rendre le jeudi 22 octobre. 
Le voici.
Soit P une parabole de paramètre p, de sommet S et de directrice D.
On souhaîte déterminer la courbe orthoptique de P.
Tous les calculs seront effectués dans le repère orthonormal direct associé à l'équation réduite de P.
1. Soit M0 = (x0, y0) un point de P.
Montrer qu'il existe un point M1 de P tel que les tangentes à P en M0 et M1 soient orthogonales si et seulement si y0
0.
Montrer dans ce cas que M1 est unique et calculer ses coordonnées en fonction de x0, y0 et p.
2. Soit M0 = (x0, y0) un point de P, avec y0
0 et M1 le point trouvé dans la question 1 associé à M0.
Calculer les coordonnées du point d'intersection des tangentes à P en M0 et M1 en fonction de x0, y0 et p.
3. Conclure.
J'ai cherché partout ce qu'est une courbe orthoptique, je connais la définition, mais c'est encore un peu flou.
Et ça fait des heures que je me casse la tête.
La géométrie n'a jamais été mon point fort!
Bref, vous êtes mon dernier espoir!
Si vous pouviez expliquer les résultats que vous trouvez...
Merci d'avance!
Merci LeHibou pour ce lien.
Je vois un peu plus clair concernant cette courbe orthoptique.
J'ai une ébauche de réponse pour les questions 2) et 3).
Mais pour la 1), je ne vois toujours pas...
Commence par déterminer une équation de la parabole et choisissant le repère pour qu'elle soit la plus simple possible...
,
) ?Je l'aurais plutôt mise d'axe vertical, donc x² = 2py, ou y =x²/2p
Ecris alors l'équation de la tangente en un point de la parabole d'abscisse x0, l'équation de la tangente en un point de la parabole d'abscisse x1, et exprime que ces deux tangentes sont orthogonales en écrivant que le produit de leurs pentes, que je vais provisoirement appeler m0 et m1, est tel que m0.m1 = -1
Pour la tangente à P en M0 :
YM0 = p/y0 x + y0/2
pour la tangente à P en M1 :
YM1 = p/y1 x + y1/2
d'après les formules du cours.
Et p/y0 . p/y1 = -1.
p²/y0y1 = -1
p²/y1 = -y0
-p²/y1 = y0.
Si y0 = 0 alors -p²/y1 = 0 donc -p² = 0 et donc p = 0.
Est-ce possible qu'un paramètre soit nul?
Si c'est impossible, alors forcément y0 0...
Ou alors faut-il faire:
p²/y0y1 = -1
p²/y0 = -y1
-p²/y0 = y1
et donc y0 0...
Et comment montrer que M1 est unique?
Non, p n'est pas une variable, c'est une donnée, et il est toujours 0, sinon le foyer est sur la directrice 
En revanche, tu peux exclure y0 = 0, ce qui se comprend bien parce que c'est la tangente au sommet de la parabole, que la direction perpendiculaire c'est celle de l'axe de la parabole, et qu'une parabole n'a pas de tangente parallèle à son axe.
Quand à montrer que M1 est unique, ça découle directement de y1 = -p²/y0 : à un y0 donné tu fais correspondre 1 et 1 seul y1.
C'est bien ce que je pensais à propos de p 0 (je trouvais justement bizarre que le foyer soit sur la directrice), mais je doutais bêtement.
Maintenant que c'est écrit, ça paraît évident...
Même si je ne le dirai jamais assez, merci infiniment LeHibou!
Contente d'avoir fait plaisir! ^^
Je ressens la même chose quand j'ai aidé mes camarades... et c'est un sentiment très agréable, je dirais même que c'est un petit moment de bonheur!
Bonne fin de soirée (voire bonne nuit)!
Sentiment totalement partagé, il est beaucoup plus gratifiant d'aider quelqu'un d'autre a résoudre un problème que de résoudre un problème tout seul dans son coin, mais je suppose que c'est un sentiment qui s'étend largement au-delà du champ des mathématiques...
Pour ce soir, c'est bientôt bonne nuit pour moi, je sens que ma concentration s'effrite...
Et bonne soirée à toi si tu continues encore un peu !
A bientôt j'espère,
LeHibou
Tout à fait d'accord!
Oui je vais encore un peu (beaucoup?) travailler...
Merci à vous!
Dormez bien (vous l'avez bien mérité 
)!
À bientôt, mais j'espère ne pas avoir à vous embêter trop souvent! 
Ca sera toujours un plaisir, mais s'il te plait, même si tu as vu mon année de naissance sur le site 
laisse tomber le vouvoiement, ça n'est pas l'esprit du site.
Dans le même esprit, j'ai horreur qu'on me laisse une place assise dans les transports en commun... 
Même si je vais être encore moins à l'aise, je vais essayer de vous tutoyer... aïe ça commence bien!
Ca serait mieux, d'autant plus qu'on n'a pas fini le boulot : reste la partie 2), et tu dois trouver que le point d'intersection des deux tangentes est sur la directrice.
Et tu peux même pour le plaisir ajouter une partie 3), même si on ne te la demande pas : montrer que réciproquement à partir de tout point de la directrice tu peux mener deux tangentes à la parabole, et que ces deux tangentes sont perpendiculaires...
Bonne nuit, cette fois j'éteins vraiment la bête !
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