salut
à l'aide des remarques pertinentes de EL hor et Perroquet,
j'ai construit le pb suivant pour toute fin utile, en      esperant recevoir  toutes vos remarques.
soit F la fn numerique de la variable reelle x definie
sur [0,+[ par :
F(x)= pour x>0 et x1
F(0)=0, F(1)=ln2
(CF)est la courbe representative de la fn F dans un R.o.N
1- sit x un nombre reel appartenant à l'intervalle ]0,1[
a- montrer que : x²-x / (2lnx) F(x)x²-x / (lnx)
b- en deduire que F est continue àdroite en 0
c- en utilisant le th de la moyenne , montrer qu'ilexiste
c [x,x²] tq :
F(x)/x = x-1/ lnc
d- en deduire que F est derivable à droite en0 , puis donner une interpretation geometrique du resultat
2- on considere la fn numerique h definie sur ]0,+[ par : h(t)= pour
t>0 et t1
h(1)=1
a- verifier que h est continue sur son domaine
b- en utilisant le th de la moyenne , calculer :
    lim   qd x1
c- calculer
d- en deduire que Fest continue en1
3- en utilisant le changement de variable u=lnt ,
montrer que :
F(x)=ln2+ integrale entre lnx et 2lnx (e^u-1 )/u du
4- on considere la fn g definie sur IR par:
g(x)= e^u-1  / u
a- montrer que g admet une primitive G sur IR
b- en utilisant T.A.F, montrer qu'il existe c entre x et x² / F(x)-ln2=G'(c)lnx
c- en deduire que F est derivable en1 , puis donner une interpretation du resultat obtenu.
5-a- montrer que F est derivable sur ]0,1[ et sur ]1,+[ , et que : F'(x)= x-1 / lnx
  b- etudier le signe de F'(x)
  c- dresser le t.v de F
6- etudier la concavite de CF
7- soit x>1
a- montrer que F(x)x²-x /2 lnx
b- en deduire lim F(x) et lim F(x)/x qd x +
c- donner une interpertation du resultat
8- construire CF