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Continuité

Posté par
Thoy 12-01-10 à 20:08

Bonsoir

j'ai un exo, je ne vois pas comment faire!

Voila l'énoncé:

Soit f:R+*R croissante. On suppose que la fonction x\frac{f(x)}{x} est décroissante, démontrer que f est continue.

Posté par
cailloux Correcteurre : Continuité 12-01-10 à 21:46

Bonjour,

On doit pouvoir montrer que pour tout a>0 et pour tout 0<x<a:

x\frac{f(a)}{a}\leq f(x)\leq f(a)

Posté par
Thoyre : Continuité 12-01-10 à 21:50

Je ne comprend pas trop :/

Posté par
cailloux Correcteurre : Continuité 12-01-10 à 22:03

Soit x et a tels que:

0<x<a

f est croissante donc f(x)\leq f(a)

\frac{f}{Id} est décroissante donc \frac{f(a)}{a}\leq \frac{f(x)}{x}

d' où: x\frac{f(a)}{a}\leq f(x)\leq f(a)

On passe à la limite en a:

\lim_{x\to a}f(x)=a (avec les gendarmes)

Et ce, pour tout a>0 donc f est continue sur \mathbb{R}^*_+

Posté par
Thoyre : Continuité 12-01-10 à 22:05

L'inégalité j'avais compris Mais le passage à la limite?

Posté par
Thoyre : Continuité 12-01-10 à 22:06

Pardon excuse moi, c'est très idiot ce que je dis Merci infiniment

Posté par
cailloux Correcteurre : Continuité 12-01-10 à 22:06

Zut une fôte:

\lim_{x\to a}f(x)=f(a) (avec les gendarmes)

Posté par
cailloux Correcteurre : Continuité 12-01-10 à 22:07

De rien Thoy


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