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continuité de dérivées partielles
premières de la fonction !
par exemple: soit la fonction définie par f(x,y) = (x²+y²)}" alt="\frac{xy}{
(x²+y²)}" class="tex" />
la derivée partielle par rapport à x = y^3/(x²+y2)^(3/2)
la dérivée partielle par rapport à y = x^3/(x²+y2)^(3/2)
donc ces dérivées sont continues sur 
²\{(0,0)}
maintenant on va étudier la continuité en (0,0)
df/dx(0,0) = lim = 0 , f(0,0)=0
df/dy(0,0) = lim = 0
est ce qu'on déduit la continuité en (0,0)?
merci d'avance
BONJOUR,Excusez mon premier poste ..
Je suis tout le temps bloquée lorsqu'il est question de démontrer la continuité des dérivées partielles premières de la fonction !
par exemple: soit la fonction définie par f(x,y) = (x²+y²)" alt="\frac{xy}{
(x²+y²)" class="tex" />
la derivée partielle par rapport à x = y^3/(x²+y2)^(3/2)
la dérivée partielle par rapport à y = x^3/(x²+y2)^(3/2)
donc ces dérivées sont continues sur ²\{(0,0)}
maintenant on va étudier la continuité en (0,0)
df/dx(0,0) = lim = 0 , f(0,0)=0
df/dy(0,0) = lim = 0
est ce qu'on déduit la continuité en (0,0)?
merci d'avance
(0,0)Bonjour,
Non malheureusement ça ne peut pas fonctionner, pour la simple est bonne raison que tu as remplacé ton problème de continuité en 0 de f par un problème de continuité en 0 de ces dérivées partielles.
Tu as montré que les dérivées partielles de f selon x et y étaient continues partout sauf en l'origine et tu as calculé leurs valeurs à l'origine : reste à savoir si elles sont bien continues en l'origine pour conclure !
Du coup, quitte à régler un problème de continuité, autant le faire directement sur f.
Tu peux voir que f est continue en passant en polaire par exemple, ou en remarquant que .
mais cela permet seulement de conclure la continuité de f en (0,0) et non la continuité des dérivées partielles premières en (0,0) !!
sinon sur un site de mathématiques, ils ont calculé les limites de df/dx en (x,x)et df/dy en (y,y)
ils ont trouvé qu'elles sont égales et ont déduit la continuité des dérivées partielles (pour une autre fonction ) est-ce juste ce qu'ils ont fait ? si non je ne vois toujours pas comment faire pour étudier la continuité des dérivées partielles premières 
Au temps pour moi, il fallait lire ton titre pour savoir quelle était vraiment la question ...
Donc tu as vu que f était continue et tu veux savoir si elle est de classe C1 en gros.
Je suis d'accord avec tes dérivées partielles et aussi leurs valeurs en (0,0).
Maintenant, la question est : et idem avec y (pour s'assurer que ces dérivées partielles sont bien continues partout).
La réponse est négative: regarde .
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