Salut

Si g est constante, c'est immédiat. Sinon, il existe un réel x0>a tel que g(x0) soit différent de g(a).

On peut alors prendre y=1/2(g(a)+g(0)) et appliquer le théorème des valeurs intermédiaires puis Rolle .. Je te laisse construire le raisonnement !

Avec un ptit dessin, tu verras bien ce qu'il se passe

Bonjour

Si g est constante, la question est réglée. Supposons donc que ce ne soit pas le cas. Soit b tel que, par exemple, g(b) > g(a). Montre qu'il existe x dans ]a,b[ et y dans tels que g(x)=g(y).

Bonjour

Salut

mais quand est ce que j'utilise l'hypothèse: g admet pour limite g(a) en +oo  ?

Pour trouver un y > b tel que g(y) < g(b) tu utilises le fait que, puisque g(x) tend vers g(a) (qui est < g(b)) la fonction prend des valeurs strictement inférieures à g(b).

J'ai pas tout compris mais ca semble pas si simple. En posant f = g-g(a), on se ramène à g(a) = 0. M = sup(g) existe et m = min(g) existe prenons x₀ tel que |g(x₀| = sup(|M|, |m|) (la continuité de |g| et le fait qu'elle soit bornée nous donne l'existance de M, m et x0 lorsque g n'est pas constante).

Comme g tend vers 0 en , on peut trouver y₀ > x0 tel que g(y₀) < g(x₀).

Le théorème des valeurs intermédiaires donne z₀ tel que az₀x₀ et g(z₀) = g(y₀).

Le théorème de Rolle fait le reste

d'accord je montre que g(b)>g(y) pour tout y€]b:+oo[ mais pour x?

enfaite j'arrive pas trop a comprendre on compare g(y) avec g(b) pour appliquer le tvi? et puis?

Merci amauryxiv2 mais dis moi tu t'es pas embrouillé avec les f et les g parceque j'arrive pas trop à suivre ton raisonnement

non je ne me suis pas embrouille ! Considère simplement que g(a) = 0 car on peut s'y ramener

En posant f = g-g(a), on se ramène à g(a) = 0 pk?

Bon ... comment être clair après avoir été si maladroit. Dans ma démo (d'ailleurs j'en profite pour te dire qu'elle est inexacte mais l'idée est là, je te laisse fouiller).

Tu pose f=g-g(a) : f'=g'. Donc si tu trouve un c vérifiant f'c(c) ) 0 tu auras résolu le problème. Sachant ça dans toute ma démo, la fonction que je nomme g n'est autre que f. C'est juste une histoire de nom.  

Bonjour ;

On peut aussi appliquer Rolle sur à la fonction _{sauf erreur bien entendu}

Ce que je pensais te faire faire :

Si f est constante c'est immédiat. Sinon il existe tel que .
Posons qui est une valeur intermédiaire à et .
Par le théorème des valeurs intermédiaires, tel que .
Puisque , y est une valeur intermédiaire à et une valeur avec suffisamment grand.
Par le théorème des valeurs intermédiaires, tel que .
En appliquant le théorème de Rolle sur [a,b], on peut alors conclure.

Sauf erreur