Inscription / Connexion Nouveau Sujet
convergence
Bonjour , j'ai le probleme suivant :
Soit fn la fonction définie sur R pour tout n > 0 par : fn(x) = x^n + 2x² +x - 1
a)Montrer que fn(x) = 0 admet, pour tout n > 0, une unique racine positive que
l'on notera Un. Localiser cette racine entre deux entiers .
Bon c'est fait en utilisant le théorème des valeurs intermédiaires . J'ai localisé la racine entre 0 et 1 .
b)En s'aidant de l'´etude du signe de fn(un−1), montrer que la suite (Un) est convergente .
Alors là j'ai plus de mal , voici ce que j'ai fait :
fn(Un-1) = f(n-1)(Un) .
f(n-1)(x) = x^n-1 + 2x² + x - 1
f'(n-1) = (n-1)x^n-2 + 4x + 1
Quelque soit x > 0 , la dérivée est tjs positive donc la fonction strictement croissante et comme f(0) = -1 et f(1) = 3 , on a bien une racine dans [0;1] mais ça ne me donne aucun renseignement sur la suite Un..
Quelqu'un a t'il une idée sur cette suite Un ?
merci
PS : en fait j'ai une idée mais elle va vous paraitre ridicule je parie . J'ai comparé les 2 dérivées , f'n(x) et f'(n-1)(x) et j'ai remarqué que la dérivée de f(n-1) croit moins vite que celle de fn , et j'avais pensé qu'on pouvait en déduire que Un-1 > Un et que la suite était donc décroissante ?
Qu'en dites vous ?
fn(Un-1) = f(n-1)(Un)
je ne vois pas du tout pourquoi on aurait cela !
par contre il faut regarder juste le graphe et les variations de fn
et la definition de
D'où
ce n'est pas dur d'étudier le signe de ce truc là puisque est entre 0 et 1
et ensuite on peut situer dans le tableau de variations de fn et ainsi le comparer à un
Salut , je ne comprends pas comment tu passes d'une expression à une autre :
On part de :
f(Un-1) = (Un-1)^n-1 + 2(Un-1)² + (Un-1) - 1
donc 2(Un-1)² + (Un-1) - 1 = -(Un-1)^n-1
Ensuite je ne vois pas d'où sort ton (Un-1)^n dans la dernière expression...
salut camélia , ok , mais je ne vois pas du tout comment étudier le signe de cette expression...
Je dérive :
f'n(Un-1) = nUn-1^n-1 + 4Un-1 + 1
Quelque soit n > 0 c'est positif , mais bon je n'arrive pas à extraire d'infos sur la suite Un j'ai l'impression que j'ai dérivé pour rien...
Pourquoi tu ne lis pas ce que apaugam a écrit? (salut annette 
).
Tu sais que et tu as du trouver à la première question que
est croissante sur [0;1]. Donc
.
camélia j'ai lu ce qu'a écrit apaugam mais comme je l'ai écrit je n'ai absolument rien compris à ce qu'elle a écrit...
Moi je comprends juste ce que tu as écrit au début :
f(Un-1) = (Un-1)^n + 2(Un-1)² + (Un-1) - 1
ensuite je comprends pas du tout comment tu arrives à l'expression que tu as écrite...
camélia je suis désolé comme tu le vois j'ai bcp de difficulté en maths et là je ne comprends tjs pas , moi j'en suis resté à ton message de 14h56 , ensuite je suis totalement perdu avec le Un-1 ^ n-1 je ne sais pas d'où il vient...
je suis largué
ah ben là ça va bcp mieux , je n'ai pas ton coup d'oeil , donc la suite est convergente car 1. elle est croissante vu que Un-1 < Un .
et 2. est la bornée par 1
donc on peut dire qu'elle est convergente à partir de ces 2 critères je pense ?
en fait j'ai remarqué que si on étudiait la fonction 2x²+x-1 , on trouvait qu'elle était croissante sur 0;+inf et qu'elle valait 0 en 1/2 , est ce que tu penses que à partir de là je peux encadrer Un de manière plus précise dans ]0;1[ ?
Par exemple peut on encadrer Un sur ]0;1/2[ ?
ben oui fn(1/2) est tjs supérieur à 0 pas de soucis , en fait le 1/2 c'est la limite de la suite des Un finalement ?
Annuler
connectez vous
analyse en post-bac