pour tout , tu as donc si tu prends le module, tu te retrouves avec la somme des termes d'une suite géométrique de raison 1/|b| < 1 : donc on a même que la série des || converge ! Donc ça marche bien non ?

bonsoir

c'est quoi ces inégalités dans

si |b| > 1,
alors 1/(1+bⁿ) < (1/b)ⁿ

(1/b)ⁿ est une suite géométrique de raison 1/b,  
avec 0 < 1/b < 1  donc (1/b)ⁿ converge vers 0.

par comparaison, Un converge vers 0, donc Un est convergent.



es ce que c'est bon si je redige comme ca, ou il faut + d'explication ?

Soit b un complexe tel que pour tout entier n, 1+b^n soit non nul

1.Si|b| < 1, la suite u converge vers 1 donc la série de terme général u(n) = 1/1+b^n diverge

2.Si|b| > 1, pour tout n, |u(n)| est inférieur ou égal à v(n)= 1/(|b|^n - 1)
La suite v est équivalente à la suite w définie par w(n) = (1/|b|)^n
Comme la série de terme général w(n) est convergente , la série de terme général u(n) est absolument convergente  
donc convergente .
3.Supposons |b| = 1. b n'est donc pas égal à 1 et s'écrit exp(it) où t est dans ]-Pi,Pi[ et pour tout n
  u(n) = 1/(1+b^n) = (1/2cos(nt/2))exp(-int/2)
  La partie réelle de chaque u(n) valant 1/2 la suite u ne tend pas vers 0 donc la série de terme général u(n) diverge

merci beaucoup

je fais un petit retour en arriere ^^

On m'a dit:

Pour le cas |b| = 1 ,
"b n'est donc pas égal à 1", n'était pas correct car on exclu pas ce cas..

Pour le cas |b|>1,
|u(n)| est inférieur ou égal à v(n)= 1/(|b|^n - 1) est faux..

pouvez vous m'aider pr montrer que c'est convergent ?

merci

non la majoration est correcte par le sens utile de l'inégalité triangulaire

non car,

|b^n+1| |b|^n + 1  donc |Un| 1/(|b|^n + 1)

non ?

oui mais ce n'est pas contradictoire !