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Convergence
Bonjour,
je bloque sur une partie d'un exercice:
Dans le debut de l'exercice, on fait une étude de la fonction arctan en sachant qu'il s'agit de la fonction reciproque de tan (et rien d'autre). On fait la représentation de arctan. On démontre que:
arctan(x)+arctan(1/x)=
/2. Viens la partie ou je bloque.
Les integrales suivantes sont elles convergentes?
a) Soit a un réel élément de ]0,1]: I=
(arctan(x)/x,x,1/a,a)
b) J=(arctan(x+1)-arctan(x),x,-
,+)
c) K=(arctan(x)/(x²+1)²,x,0,+)
Pour la a), dans le début de l'exercice on a montré que arctan(x)
x alors je pensais majorer arctan(x)/x par 1 alors I(1,x,1/a,a) mais je ne vois pas comment conclure.
Pour la b) je ne vois pas trop comment faire, arctan(x+1)-arctan(x) est definie sur R, la limite de cette fonction en + et - est 0.
Pour la c), j'ai pensé à: arctan(x)/(x²+1)²x/(x²+1)² qui est équivalent à 1/x^3 mais cela ne mène à rien.
Merci d'avance pour l'aide qui me sera apportée.
Amanda
Bonjour
a) Si ton écriture signifie la fonction est continue sur [1/a,a], donc il n'y a rien à démontrer!
Pour b) moi j'utiliserai le théorème des accroissements finis sur chaque intervalle [n,n+1], mais as-tu la dérivée de arctan?
c) Comme , on majore par l'intégrale convergente
On ne me demande pas de dire si elle sont définies mais convergentes et si elles sont convergentes
il faut que je les calcules.
Je ne vois pas en quoi la continuité de la fonction me dis si ça converge ou non.
pour la c) je n'avais pas pensé à cette majoration mais apres avec cette majoration que puis je dire puisque les intégrale de riemann sont divergente ou convergent si on est sur [0,1] ou sur [1,+[
Sinon j'ai bien calculé la dérivée de arctan donc je peux l'utiliser
L'intégrale d'une fonction continue sur un intervalle [a,b] est TOUJOURS convergente.
Pour calculer I (qui est bizarrement écrite, si ,
donc les bornes sont à l'envers!) dans
fais le changement de variable
Alors je récapitule
a) Je viens de voir que pour arctan(x)/x, on a un problème en 0 mais avec les DL on voit que arctan(x)/x est continue sur R donc en particulier sur [1/a,a], ainsi I est convergente.
Le changement de variable donne I = /2
b) arctan(x+1)-arctan(x) est continue sur R donc intégrable sur R il faut donc étudier en + et -. Or arctan(x+1)- arctan(x) tend vers 0 quand x tend vers - et +
Alors J est convergente.
J'ai essayé une intégration par partie mais j'obtient quelquechose qui tend vers +.
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