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convergence d'une série

Posté par
PnR 12-09-09 à 17:37

Bonjour !

Voilà, je dois étudider la nature de la série de terme général un*zn (que je note un*zn), avec z et un=\frac{a*(a-1)*. . .*(a-n+1)}{n!}

J'ai déjà montré que si a, un*zn converge pour tout z.

Je suppose maintenant a\ et z.

Je dois discuter de la nature de la série un*zn quand |z|<1 et quand |z|>1.

Là , je bloque complètement. Voilà ce que j'ai fait :

un*zn=\frac{a*(a-1)*. . .*(a-n+1)}{n!}*zn... et d'ailleurs, c'est tout ce que j'ai écrit car je ne vois pas quoi faire... je ne peut pas trouver un équivalent de cette suite quand n tend vers +.

Je pense que je dois m'interesser au module de un*zn puisqu'ensuite, en faisant une disjonction de cas, je pourrais utiliser des infos sur le module de z.

Merci à ceux qui voudront bien m'aider !

PS : je suis désolé, je n'ai pas trouvé un chapitre adéquat pour poster mon message, voilà pourquoi j'ai selectionné "autre".

Posté par
perroquetre : convergence d'une série 12-09-09 à 17:55

Bonjour, PnR

Une petite indication.

Si tu connais les séries entières: l'exercice revient à déterminer le rayon de convergence d'une série entière  \sum u_nz^n

On sait que le rayon de convergence de cette série entière vaut:
3$ R=\lim_{n\rightarrow +\infty}\frac{|u_{n}|}{|u_{n+1}|}      (lorsque cette limite existe)



Si tu ne connais pas les séries entières:
tu as à examiner la convergence d'une série  \sum a_n    avec  a_n=u_nz^n

On sait que:

si   3$ \lim_{n\rightarrow +\infty}\frac{|a_{n+1}|}{|a_{n}|}<1   alors,  \sum a_n    converge absolument (donc converge)

si   3$ \lim_{n\rightarrow +\infty}\frac{|a_{n+1}|}{|a_{n}|}<1   alors,  \sum a_n    diverge

Posté par
PnRre : convergence d'une série 12-09-09 à 18:06

Je ne connais pas encore les séries entières, mais voilà ce que j'ai fait, en suivant vos conseils :

\frac{|a_{n+1}|}{|a_n|} = |z|*\frac{|a-n|}{|n+1|}

Donc, si |z|<1, la série de terme général un converge absolument, donc converge, et si |z|>1, la série de terme général un diverge.

Est-ce correct ?

Posté par
perroquetre : convergence d'une série 12-09-09 à 18:07

C'est correct


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