1*(1/n) avec la première bornée (car =1) et la 2e décroissante positivement vers 0 et la série (harmonique) ne converge pas)
il faut qq chose de plus fort...

Bonsoir,

C'est la somme partielle qui doit être bornée pour an. Pour bn c'est la suite (et non la série) qui doit être décroissante vers 0.

Tu peux t'en sortir en appliquant la règle d'Abel à la série de terme général e^(int)/n.

Merci pour cette réponse. Par règle d'Abel, que voulez-vous dire ? (Et on prendrait la partie réelle ?)

Oui c'est ce dont tu as parlé, le théorème d'Abel. Ensuite si tu démontres qu'une série complexe converge alors sa partie réelle et imaginaire convergent (c'est un si et seulement si). Donc on aura effectivement la convergence de la partie réelle qui est la série que tu cherches évaluer....

D'accord merci.

La série de terme général e^int est bornée ?
(On peut le prouver facilement ?)

Oui c'est assez facile mais un peu calculatoire. Écris la somme partielle des e^(int) et calcules la.....c'est une série de la forme x^n donc comment en donner une expression explicite?

Ah Ok

eⁱⁿ⁰ + eⁱⁿ¹ +...+ e⁽ⁱⁿ⁾ⁿ=\frac{1-e^in²}{1+eⁱⁿ}
=1-eⁱⁿ

Après ... je ne suis pas certain.

Je me suis trompé .... Je ne sais pas pourquoi j'ai mis un 2.

Heu non. Déjà ça dépend de t, et ensuite le dénominateur est 1-e^(it) (c'est une série géométrique de terme général [e^(it)]^n

Je me suis embrouillé tout seul.

(1 - [e^(it)]^[n+1]) / 1-[e^(it)]

(1 - [e^(it)]^[n+1])(1-[e^(-it)])/2(1-cos(t))

Soit t \ 2.
Pour n * on pose a(n) = cos(nt) , A(n) = a(1) +a(2)+....+a(n) de sorte que S(n) = _1kn a(k)/k = _1knA(k)/k(k-1) + A(n)/n

A(n) est la partie réelle de 1+e^it+....+e^int = (1 - e^i(n+1)t)/ (1 - e^int) donc |A(n)| c = 1/sin(t/2) et A(n)/n 0 .
Comme |A(k)|/k(k-1) c/k(k-1) terme général d'une série convergente la suite S converge et la sdtg cos(nt)/n (n > 1) converge

Merci pour cette réponse kybjm. Je ne vois pas bien d'où vient le A(k)/k(k-1). Merci

  a(k) = A(k) - A(k-1)

Désolé mais je ne vois toujours pas. La A(n)/n est bien en dehors de la somme ? (Je ne comprends pas très bien les bornes)