Inscription / Connexion Nouveau Sujet
Accueil l'île des mathématiques Forum de mathématiquesListe de tous les forums de mathématiques SupérieurOn parle exclusivement de maths, pour le supérieur principalement, les BTS, IUT, prépas... École ingénieur AnalyseTopics traitant de analyse [tout]Lister tous les topics de mathématiques
Niveau école ingénieur
Partager :

Convergence d'une série avec fonction hyperbolique

Posté par
peufien 22-10-09 à 15:45

Bonjour,
  voila mon problème, j'ai la série Un  de n=0 a n=  
avec Un=1/(ch((2n+1)a))

Je dois montrer que cette série converge et je ne trouve pas comment démarrer. J'ai essayé de mettre le ch sous forme exponentiel mais je suis très vite bloqué après cela.

Pourriez-vous m'aider?

merci d'avance de vos réponses

Posté par
Camélia Correcteurre : Convergence d'une série avec fonction hyperbolique 22-10-09 à 15:46

Bonjour

Je ne sais pas qui est a... Mais je dirais que c'est majoré par un truc en 1/e^{2n+1}, non?

Posté par
peufienre : Convergence d'une série avec fonction hyperbolique 22-10-09 à 15:47

oui excusez moi, je précise que  a est un réel positif non nul

Posté par
Camélia Correcteurre : Convergence d'une série avec fonction hyperbolique 22-10-09 à 15:51

Bon ça doit marcher... on a des séries à temes positifs!

a\,Ch(2n+1)=\frac{ae^{2n+1}+ae^{-(2n+1)}}{2}\geq \frac{ae^{2n+1}}{2}

donc \frac{1}{a\,Ch(2n+1)}\leq \frac{2}{ae^{2n+1}} et le second membre est le terme général d'une série convergente.

Posté par
peufienre : Convergence d'une série avec fonction hyperbolique 22-10-09 à 20:03

Merci beaucoup pour cette aide, j'ai pu résoudre cette partie de l'exercice. Au faite le  'a' est compris dans le Ch,  c'est ch[(2n+1)*a]

Par contre, la deuxieme partie est:
montrer que :

1/( ch[(2n+1)*a] )    =      [(-1)^n]/( sh[(2n+1)*a]  )

(somme de n= 0 a l'infini).
Je ne sais pas trop comment m'y prendre.
Est-ce que j'ai le droit de tous passer d'un coté puis d'essayer de résoudre?
Ou alors qu'est ce que je dois faire?

merci encore

Posté par
peufiencalcul d'une Somme (série) 23-10-09 à 10:57

Bonjour,
voila mon problème
montrer que :

1/( ch[(2n+1)*a] )    =     [(-1)^n]/( sh[(2n+1)*a]  )

(somme de n= 0 a l'infini).
Je ne sais pas trop comment m'y prendre.
Est-ce que j'ai le droit de tous passer d'un coté puis d'essayer de résoudre?
Ou alors qu'est ce que je dois faire?
J'ai pensé aussi a essayé de calculer chacune des sommes indépendament pour essayer de trouver la même chose à gauche et à droite mais j'ai des problèmes dans mes calculs de sommes, je ne suis pas très au point.


merci d'avance,

*** message déplacé ***

Posté par
LeHiboure : calcul d'une Somme (série) 23-10-09 à 11:23

Bonjour,

Suppose a > 0.

Pour n assez grand, tu as ch((2n+1)a) sh((2n+1)a) e(2n+1)a/2
Le comportement de la série de gauche est donc celui de 2e-a(1/e2)^n
1/e2 < 1, donc la série de gauche est convergente et à termes positifs, et la série de droite est absolument convergente.
Donc tu peux tout faire passer du même côté, et regrouper les termes de même indice :
[1/ch((2n+1)a) - (-1)n/( sh((2n+1)a)]
Et la, à mon avis, ça se simplifie grandement terme à terme...

*** message déplacé ***

Posté par
peufienre : calcul d'une Somme (série) 23-10-09 à 11:33

et je dois montrer que la somme de la différence fait zéro?

*** message déplacé ***

Posté par
LeHiboure : calcul d'une Somme (série) 23-10-09 à 11:40

Oui, tu dois montrer que la somme des différences est nulle.
Commence le calcul de la réduction d'un terme pour n donné.
Il faut peut-être discuter pour n pair ou impair...

*** message déplacé ***

Posté par
Camélia Correcteurre : Convergence d'une série avec fonction hyperbolique 23-10-09 à 14:13

Je pense qu'il faut écrire tout en exponentielles et voir!

Posté par
elhor_abdelali Correcteurre : Convergence d'une série avec fonction hyperbolique 23-10-09 à 19:34

Bonjour ;

une idée :

d'une part , comme l'a vu Camélia (que je salue ) ,

pour 2$a>0 la série 3$\;\Bigsum_{n\ge0}\frac{1}{ch((2n+1)a)}\; est absolument convergente

d'une autre part , pour x=(2n+1)a , on peut écrire ,

3$\fbox{\frac{1}{chx}=\frac{2}{e^x+e^{-x}}=\frac{2e^{-x}}{1+e^{-2x}}=2e^{-x}\Bigsum_{k=0}^{+\infty}(-1)^ke^{-2kx}=2\Bigsum_{k=0}^{+\infty} (-1)^ke^{-(2k+1)x}=2\Bigsum_{k=0}^{+\infty} (-1)^ke^{-(2k+1)(2n+1)a}}


supposons qu'on puisse intervertir les deux sommes on aurait alors ,


4$\fbox{\Bigsum_{n=0}^{+\infty}\frac{1}{ch((2n+1)a)}=2\Bigsum_{n=0}^{+\infty}\Bigsum_{k=0}^{+\infty}(-1)^ke^{-(2k+1)(2n+1)a}=2\Bigsum_{k=0}^{+\infty}(-1)^ke^{-(2k+1)a}\Bigsum_{n=0}^{+\infty}(e^{-2(2k+1)a})^n\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;=\Bigsum_{k=0}^{+\infty}\frac{2(-1)^ke^{-(2k+1)a}}{1-e^{-2(2k+1)a}}=\Bigsum_{k=0}^{+\infty}\frac{(-1)^k}{sh((2k+1)a)}}


voilà maintenant il ne reste plus qu'à justifier cette interversion sauf erreur bien entendu

le multipost est à éviter ! (Lien cassé)

Posté par
Coll Moderateurre : Convergence d'une série avec fonction hyperbolique 24-10-09 à 07:34

Bonjour à tous,

peufien >>

attentionextrait de c_faq la FAQ du forum :

Q04 - Où dois-je poster une nouvelle question ?



attentionextrait de c_faq la FAQ du forum :

Q03 - Pourquoi ne faut-il pas faire du ''multi-post'' ?


Rechercher
Menu
Espace membre
Changer d'île

Vous devez être membre accéder à ce service...

Pas encore inscrit ?

1 compte par personne, multi-compte interdit !

Ou identifiez-vous :

Rester sur la page

Inscription gratuite

Fiches en rapport

parmi 1675 fiches de maths

Désolé, votre version d'Internet Explorer est plus que périmée ! Merci de le mettre à jour ou de télécharger Firefox ou Google Chrome pour utiliser le site. Votre ordinateur vous remerciera !