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Convergence d'une suite.
Bonjour à tous,
Pour tout x de R, Un(x)=∑(x^k)/k!, k allant de 0 à n.
Voilà mon petit problème, on me demande de montrer la convergence de cette suite vers exp(x) en plus l'infini avec l'interdiction d'utiliser l'inégalité de Taylor-Lagrange.
Je sais vraiment pas comment faire. Pour le moment, j'ai uniquement réussi à montrer pour x appartenant à R+ que exp(x)> ∑(x^k)/k! , qu'elle est croissante et donc qu'elle converge vers une limite l < exp(x). Mais cela est bien léger =S
Voilà, merci beaucoup =)
bonjour, je suppose que tu parles de la suite quand tu dis qu'elle est croissante mais pourquoi converge-t'elle ??
Etudie : exp(x) - Un(x) pour justifier que exp(x) est la limite
La suite étant croissante et majorée par exp(x), elle est convergente et sa limite est inférieure ou égale à exp(x), non ?
donc, pour un x fixé 
+ tu sais que Un5x) converge vers une limite l(x) 
exp(x) ...
que vaut exp(x) - Un(x) en fonction de n et x ???
quelle est la limite (toujours avec x fixé) , quand n -> 
de cette différence ?
exp(x)-Un(x) = exp(x)-∑(x^k)/k! = exp(x)[1-exp(-x)∑(x^k)/k!]
Mais j'arrive pas à voir comment trouver la limite de cette différence.
salut
ce que je ne comprends pas c'est comment tu montres ue exp(x) > Un(x) ...
quelle définition de exp utilises-tu ?
sinon pour la limite de la différence :: pour tout n fini croissance comparée de exp(x) et un polynome de degré n ...
Pour tout réel x la suite n 
Un converge vers un réel U(x) .
La convergence est " si bonne " que x U(x) est dérivable et U ' = U .
As-tu vu des théorèmes reliant convergence de suite de fonctions et continuité , dérivation ,...?
Merci je vais essayer ça pour la limite de la différence.
Sinon, pour montrer que exp(x) <ou= Un(x) (pour x appartenant à R+), j'ai fait par récurrence. En l'admettant au rang n, il faut intégrer entre 0 et x pour avoir cette inégalité au rang n+1.
Pour kybjm,
Oui je crois que j'ai ce théorème, mais je comprend pas ce que tu entends par la convergence est "si bonne".
Pour carpediem,
Je ne vois pas comment on peut utiliser les croissances comparées, vue que c'est pour x fixé et c'est n qui tend vers l'infini.
Bonjour,
En fait, je ai pas grand chose dans mon cours concernant la convergence de suite de fonction et je sais pas si c'est suffisant, j'ai seulement :
"Soit (Un)n∈N une suite récurrente de type Un+1 = f(Un). Si la suite converge vers l et si la fonction f est
continue en l, alors l est un point fixe de f (donc solution de l'équation f(x) = x)."
Le problème, c'est que j'ai du mal à le mettre sous la forme Un+1 = f(Un) car j'ai juste Un+1=Un + [x^(n+1)]/(n+1).
Donc je sais pas si je peut utiliser ce théorème.
En tous cas merci pour votre aide.
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