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convergence d'une suite en fonction d'une suite inconnue
Bonjour,
j'ai vraiment un gros problème avec cet exercice:
k appartient à N
(Uk) est une suite de nombres réels.
n
Pn=
(1-Uk)
k=0
Question:On suppose (Uk) positif ou nul 
k et Uk->l
étudier la convergence de (Pn)(utiliser la fonction ln)
Ma "réponse";
Pour utiliser ln on doit avoir Uk<1
Dans ce cas Pn=exp(
ln(1-Uk))
_Si 0<l<1 alors n*ln(1-Uk)-> +
donc ln(1-Uk) diverge donc (Pn) diverge
_Si l=0 je n'arrive pas à répondre car on ne sait pas "comment" (Uk) converge vers zéro
_Si l=1 n*ln(1-Uk)-> - donc ln(1-Uk) diverge vers -inf donc (Pn) converge vers zéro
Si Uk=1 alors Pn=0 au bout d'un certain rang donc converge
Si Uk>1 alors je pense qu'il faut utiliser le maximum de Uk mais le problème c'est qu'on ne connaît pas sa monotonie alors la je suis perdu...
Merci beaucoup de votre aide...
Bonjour
Commence par montrer que si (Pn) converge, on a forcément l=0. C'est donc le seul cas qu'il faut envisager. Dans ce cas 1-Uk>0 à partir d'un certain rang, ce qui suffit. Ensuite, effectivement on prend le logarithme et on regarde la série de terme général ln(1-Un)
Pour l'instant j'arrive pas a le montrer
elle converge aussi si Uk=1 ,non?
et donc je me suis trompé pour le cas où l=1?
Merci beaucoup
Oui, c'est vrai que si l'un des Uk vaut 1, tous les Pn nuls. Ca c'est le cas extraordinaire!
On suppose donc que tous les Uk sont différents de 1 et donc que tous les Pn sont non nuls. Que peut-on dire de la suite dans le cas où (Pn) converge?
a okkkkkkkk
donc on suppose que Pn converge
dans ce cas Pn+1/Pn=1-Un+1
par passage a la limite (sauf si Pn->0 mais cela n'arrive que dans le cas extraordinaire!) on a Un->0. et c'est une équivalence non?...
Au bout d'un certain rang no on a donc Uk<1
no n
donc Pn=(1-Uk)(1-Uk)
0 no+1
On peut prendre le ln du deuxième morceaux mais ensuite j'ai l'étude d'une série de terme général ln(1-Uk)
or
ln(1-Uk)
Uk et puis...
Merci beaucoup de votre aide parce que cet exercice est vraiment dur j'aurais jamais trouvé ça tout seul
je me relis et je sais pas si c'est clair... j'ai écrit "et puis..."
ça signifie que je ne vois pas comment faire ensuite pour trouver la limite...
Oui, c'est ça l'idée. Et effectivement, quand Un tend vers 0 il y a équivalence avec la suite \ln|u_n|" alt="
\ln|u_n|" class="tex" /> converge.
d'accord mais il me reste deux problème pour trouver la limite de la suite(vous pensez que ça veut dire ça:étudier la convergence?)
-->la valeur du produit de 0 à no des (1-Uk)
-->la limite de la suite de terme général ln(1-Uk)
et même un troisième; trouver no...
J'en arrive à me demander si c'est vraiment ça la question où juste dire que (Pn) converge ssi Uk->0
encore merci
Il n'y a aucune chance de donner une formule pour la limite; c'est comme pour les séries, on sait si oui ou non ça converge...
d'accord c'est compris
J'aimerais prouver que ((Pn)->0)=>(
k tel que Uk=1)
Dans ma preuve je trouve ce cas qui m'embète:si (Uk)->1 je trouve que (Pn)->0
D'ailleurs c'est ce que j'avais déja écrit le 30-10-08 à 14:34.(ça veut pas dire que c'est vrai...)
Est ce vrai?
Merci encore
Non, (Pn) peut tendre vers 0 sans devenir identiquement nul. Et ça c'est le cas vraiment indéterminé! exemple si Uk est une suite constante de valeur u avec 0 < u < 1. Je ne vois pas ce qu'on peut dire de précis dans ce cas!
En général quand on étudie les produits infinis, on écarte ce cas.
Rédige déjà correctement tout le reste et fais remarquer que tout preut arriver dabns ce cas... et je suis curieuse de voir la correction!
c'est vrai il y a une erreur d'énoncé!Pourtant ça n'a pas l'air d'être un sujet "maison"...je vous tiendrais au courant.
Dans la suite il y a autre chose qui m'embète:
On considère maintenant que (Uk) est divergente et que 0
Uk<1
Je dois trouver la limite de (Pn)
J'ai écrit que Pn peut s'écrire:
exp(ln(1-Uk))
Outre le fait que je n'arrive pas à trouver un exemple de suite divergente coincée entre 0 et 1, je vois pas quoi faire ensuite...
Merci beaucoup
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