Niveau Maths sup

Convergence de séries numériques

Posté par
MikaelMikael 07-01-10 à 18:37

Bojour,

Je souhaiterai solliciter votre aide sur certaines séries qui m'ont été donnée à étudier (très rapidement). Il s'agirait d'avantage d'une confirmation voire d'une correction de mon raisonnement que d'une vraie difficulté éprouvée lors de la rédaction de mes réponses à l'exercice.

$\Bigsum \frac{(-1)^n}{\sqrt{n}}$ avec $n \ge$ 1

J'ai trouvé cette série convergente en utilisant le test de d'Alembert donc en étudiant le rapport entre les termes $u_{n+1}$ et $u_n$ . La limite (de la borne supérieure de ce rapport) en l'infini me donnant un résultat strictement inférieur à 1.

$\Bigsum ln(1 + \frac{(-1)^n}{\sqrt{n}})$ avec $n \ge 2$
J'ai utilisé la règle des équivalent pour me ramener à la série précédente. Je trouve donc cette série convergente.

$\Bigsum 2^{sqrt{n}}$ avec $n \ge 2$
J'ai utilisé le test de Cauchy et ai étudié la limite (de la borne supérieure) de $(2^{sqrt{n}})^n = 2^{n sqrt{n}$ en l'infini pour trouver une limite strictement inférieure à 1. J'en ai déduit la convergence de la série.

$\Bigsum (ln n)^{- ln n}$ avec $n \ge 2$
J'ai ici aussi utilisé le test de Cauchy en étudiant la limite du terme $(ln n)^{- nln n}$ en l'infini pour trouver une limite strictement inférieure à 1. J'en ai donc aussi déduit la convergence de la série.

Il s'agit de séries pour lesquelles, vous l'aurez compris, je ne suis pas convaincu du bien fondé de mes applications des tests de d'Alembert et de Cauchy.

Qu'en pensez-vous?

Merci infiniment,
Mikael

Posté par re : Convergence de séries numériques 07-01-10 à 18:46

Bonjour
1) la limite de |un+1 / un| est 1, donc tu ne peux pas conclure

Tu peux conclure avec le critère spécial des séries alternées: un est alternée, 1/n est une suite décroissante tendant vers 0, donc la série converge

Posté par re : Convergence de séries numériques 07-01-10 à 18:48

2) les équivalents ne fonctionnent que pour les suites gardant un signe constant, me semble-t-il (quelqu'un peut-il confirmer?)

Posté par re : Convergence de séries numériques 07-01-10 à 18:51

3) le terme général ne tend pas vers 0, donc la série diverge grossièrement.

Posté par re : Convergence de séries numériques 07-01-10 à 22:47

Je me suis bien trop précipité.
Merci pour votre aide.

1/ Je vais revoir ce critère des série alternée (j'étais aussi passé par la recherche de l'absolue convergence de la série).

2/ Oui, le passage aux équivalents n'est possible que si le terme est de signe constant c'est pourquoi je pensais utiliser la valeur absolue. Par contre je ne sais pas si on peut passer de manière licite aux équivalents avec des valeurs absolues... Qu'en dites-vous?

3/J'ai fait une grossière erreur!!

Merci infiniment jeanseb

Posté par re : Convergence de séries numériques 07-01-10 à 22:53

Bonsoir MikaelMikael et jeanseb,

2) Effectivement le critère des équivalents n'est pas licite. Méthode : un développement limité. Je trouve qu'elle diverge à cause d'un terme en 1/n.

Posté par re : Convergence de séries numériques 08-01-10 à 11:36

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