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convergence et intégrale
salut à tous,
j'ai un exercice à faire sur lequel je bloque fortement..
On pose pr tt n
* Un=(0à infini) 
((sin t )/t)2n dt
On pose pr n et a > 0 In=(0 à Pi/2) (cos t)ndt , Jn(a) = (0 à a) (1-t²/a²)n dt et on admet que : In 
(Pi/2n)
1. Etablir la convergence de l'intégrale Un pr tt n 
1
2. On suppose acquis que 
t > 0 |(sint)/t| < 1. Montrer alors que pour a > 0 M(a) = sup |(sin t)/t| < 1
En discutant suivant que a > 1 ou a 
1 montrer que pr n 1 on a :
(a à infini)((sin t)/t)2n dt 2[M(a) ] 2n-2
3. verifier que a >0 Jn(a) = aI2n+1
4 Montrer que : t [0,6] (sin t)/t > 1 - t²/6 0
1.Si fn(t) = (sint/t)2n pour n * et t > 0
fn se prolonge parcontinuité en 0 par fn(0) = 1 et pour t > 0 la valeur absolue de fn(t) est t-2 = g(t) . Les fn sont donc absoluement intégrables donc intégrables
(ou encore l'intégrale est AC donc convergente)
2. M(a) = sup |(sin t)/t| < 1 n'a pas de sens (où t se promène-t-il ?)
3.Le changement de variable (t = asin(u) , 0 u 
/2) prouve qu'on a : [a > 0 Jn(a) = aI2n+1]
4.Etudie les variations de t
sin(t) -t + t3/6
Soit a > 0 . L'application u de I(a) = [a , +
[qui à t I(a) associe sint/t est continue et que u(t) tend vers 0 quand t tend vers + elle est bornée et atteint ses bornes. En particulier il existe s I(a) tel que M(a) = Sup{sin(t)/t ; t I(a) } = u(s) donc M(a) < 1 .
1. on peut dire directement que l'integrale est absolument convergente donc convergente ? pas besoin de dire que c'est prolongeable par continuité et tt, si ?
2. je comprend pas vraiment l'explication... 
et y a la 2eme partie de la question aussi ^^'
" En discutant suivant que a > 1 ou a 1 montrer que pr n 1 on a :
(a à infini)((sin t)/t)2n dt 2[M(a) ] 2n-2 "
3. et 4. j'ai réussi, merci 
Il me reste 2 questions sur lesquel je bloque..
5. En déduire que n1, Un6 * I4n+1
a)montrer que pr tt 
>6 il existe 
[0,] tel que t [0,] 0sintt-t3/²
On ma dit de faire en appliquant la formule de taylor avec reste integral à la fonction 
(t) = sint-t+t3/²
b)En déduire que n>1 Un< J2n() + 2[M()]2n-2
6. trouver la limite de Un/I4n+1 et déduire que Un (3Pi/(4n))
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