Bonjour

Ecris

Ensuite intervertis les signes et : vérifie que c'est possible, car il doit y avoir une convergence monotone, peut-être même dominée.

Que la série de départ converge: c'est une série alternée dont le terme général (en valeur absolue) tend vers 0 en décroissant, donc la série converge uniformémént d'après le critère spécial des séries alternées.

-> jeanseb, c'est exact mencore qu'il ne soit pas question ici de convergence uniforme, puisqu'on ne parle pas d'une série de fonctions mais d'une simple série de nombres...

Ce n'est pas une série de fonctions?

car il doit y avoir une convergence monotone
Ca j'en doute, tu sommes des termes tantot négatifs, tantot positifs.

->jeanseb, OK, je parlais du terme de gauche et toi de celui de droite

Sur [0,1[ ((-x)³)ⁿ est majorée en valeur absolue par (x³)ⁿ qui converge...
Quant à la convergence dominée, il me semble qu'on n'en parle que dans le cadre de Lebesgue, ça doit être hors programme

Mais même pour la convergence dominée il me semble qu'il y'a un problème...

Pouquoi faire simple quand....

Que la série de terme général (-1)ⁿ/(3n+1) c'est clair (th. des S alt)
Cela signifie que S(n) = 1 - 1/4 +....+(-1)ⁿ/(3n+1) converge vers un réel .

Soit donc n* . Pour x -1 on a :
(1 - (-x³)ⁿ⁺¹)/(1 - (-x³)) = 1 +(-x³)+....+ (-x³)ⁿ
Si f est l'application de \ {-1} dans qui à x associe 1/(1 + x³) on a donc :
₀¹f = S(n) + (-1)ⁿR(n) où R(n) = ₀¹x³ⁿ/(1 + x³)dx

Comme 0 < R(n) < 1/(3n + 1) on voit que S(n) converge vers ₀¹f qui a un expression simple (il y a du ln(2) et de l'arctan)

On dit que la série de terme général (-1)ⁿ/(3n+1) (n 0) est convergente et que sa somme est ₀¹f