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Convergence faible
Bonjour à tous !
J'ai une petite question qui m'embête avec la convergence faible dans un espace vectoriel normé :
Soit H un espace de Hilbert et une suite d'élément de H qui converge faiblement vers u. ( C'est à dire que
)
Soit K un compact de H, supposons que , montrer que
en norme.
En fait, comme on est dans un Hilbert, on sait que
( signifiant convergence faible)
mais je n'arrive pas à montrer la convergence de la norme des u_n vers la norme de u.
Si l'un d'entre vous a une idée 
Merci.
Bonjour Narhm
Le second terme tend vers 0 par définition.
Par ailleurs,
et K étant compact, ||u_n|| est borné, donc le premier tend aussi vers 0.
Vérifie, ça fait longtemps que je n'en ai pas fait!
Bonjour Camélia
En fait on veut montrer que sachant que
et que les u_n sont dans un compact.
Donc je suis d'accord jusqu'au moment ou tu dis "K étant compact, ||u_n|| est borné, donc le premier tend aussi vers 0."
Le premier tend vers 0 si ||u_n-u|| tend vers 0 mais c'est ce qu'on veut montrer.
non ?
Oui, bien sur, j'ai été trop vite! je me disais aussi...
En fait on veut montrer que si ted vers 0 pour tout y, alors
tend vers 0.
Alors je réfléchis un peu plus...
Je viens de voir que tu supposes que les sont dans K, mais a priori ce n'est pas le cas de
donc je reprends au début.
K est un compact métrique, donc Bolzano-Waierstrass marche. Il existe une suite extraite qui converge dans H vers, mettons v (lui, il est dans K)
On a maintenant une suite extraite qui converge vers u.
Je te vends ce début, (sans garantie) peut-être il t'inspire... je continue à réfléchir!
Bon, je tente quelque chose :
Je rappelle le lemme de Cantor :
¤ Dans un espace topologique, toute sous suite de
admet à son tour une sous suite convergente vers x.
Soit donc une sous suite de
,
une extractrice.
, comme K est un compact dans un espace métrique, il existe une sous suite de
, disons
, qui converge vers
.
Comme la convergence forte ( en norme ) entraine la convergence faible : .
Mais est une sous suite de
, et toute sous suite d'une suite faiblement convergente vers un point, converge aussi faiblement vers ce meme point. Donc
.
Par unicité de la limite en convergence faible, il vient que puis
.
Bilan : Toute sous suite de admet à son tour une sous suite qui converge vers
i.e.
.
Ca a l'air de marcher... mais j'ai comme un sentiment que ça doit encore se simplifier! Ca dépend pour quoi tu te poses la question... Si tu dois le rédiger, il vaut mieux chercher encore un peu.
Mon idée initiale était de me demander si à partir de la convergence faible on n'arrive pas à montrer que la suite des u_n est de Cauchy, auquel cas il suffit d'UNE suite extraite qui tend vers u.
Ce n'est pas à rédiger, je voulais plutôt m'assurer que je pouvais correctement démontrer l'énoncé.
Après je suis d'accord, ca me semble encore trop complexe surtout qu'on ne fait pas intervenir l'espace de Hilbert : ma justification fonctionnerait encore dans un Banach il me semble.
Je garde ton idée en tête pour y réfléchir entre deux partiels.
En tout cas merci
Mais non, l'énoncé n'a pas de sens dans un Banach quelconque! On a bien besoin d'un produit scalaire!
Hum, non a priori tout ce que j'ai écrit doit être valable pour un espace normé même , avec pour définition plus général,
si pour toute forme linéaire continue f, f(x_n) tend vers f(x).
Pour un Hilbert, on utilise le produit scalaire à cause du théoreme de représentation de Riesz.
J'espère ne pas dire d'ânerie...
Je viens de vérifier dans mon bouquin :
Dans un e.v.n :
- Si elle existe la limite faible d'une suite est unique .
- Si une suite conv. faiblement alors toute sous suite converge aussi faiblement vers la même limite faible.
- Conv forte => Conv faible.
Je crois tenir une rédaction convenable.
Supposons que la suite (u_n) ne converge pas vers u. Alors il existe et une suite extraite (u_m) telle que
pour tout m. Comme de cette suite on peut extraire une suite convergente, je suppose qu'elle converge vers v (nécessairement distinct de u). Mais alors cette suite converge faiblement vers u (par hypothèse) et vers v! Impossible!
On tournait autour hier...
Bonjour Camélia !
Ah effectivement, c'est plus direct comme ceci ( même si on procède par l'absurde ). J'achete !
Encore merci
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