Bonsoir,

En utilisant la définition, soit la formule d'Hadamard..

Merci pour votre réponse, Foxdevil. Comment utiliser ici la formule d'Hadamard ?
On a une factorielle en puissance... (ça le fait dit comme ça )

La puissance en factorielle ne gène pas. D'autant plus que la formule d'Hadamard s'applique sur le et non sur le . En gros c'est une série entière lacunaire. C'est à dire que des termes sautent. Mais comme le hadamard porte sur le sup de la suite , on se débarrasse ainsi des 0.

D'accord, merci je pense avoir compris. Donc :

a_kz^k! est le terme géneral avec :

a_k = 1 pour k=n
sinon a_k vaut 0.

Et ainsi limsup a_k^1/n=1
Et R=1.

Merci.

Dcamd

On est d'accord pour le rayon mais ton calcul est faux. Une série entière est de la forme . Donc tu dois écrire ta série de la sorte. Le factoriel fait que ce n'est pas tout à fait de la bonne forme....

Pour mettre ça sous forme , tu dois avoir:

=1 si il existe k tel que n=k!
et 0 sinon.

Mais la limite sup est bien 1.

La notion de rayon de CV est très grossiere:
Si |z|>R la divergence est grossière (le t.g. n'est même pas borné)
Si |z|<R la convergence est grossière (majoration  en module du t.g. par le t.g. d'une série géométrique convergente).
Il faut donc chercher des arguments simples avant d'utiliser des règles sophistiquées.

Ici: pour |z|>1 le terme général ne tend pas vers 0, donc R<=1.
On peut appliquer diverses méthodes pour prouver ensuite que R>=1.

Donc R=1.

D'accord, Merci !