Tu dois utiliser une série donc la somme de tes fn.

D'autre part ce que tu écris n'a aucun sens

Bonjour, Leitoo

Deux erreurs dans ton raisonnement.
D'abord    x/n(1+x)  est équivalent à x/n
Ensuite, tu as seulement démontré que f_n(x) tend vers 0, mais tu n'as pas démontré que la série des f_n(x) était convergente.

Avec l'équivalent que tu as trouvé, tu peux d'ailleurs démontrer que la série des [f_n(x)| est divergente. On pourra en déduire que la série des f_n ne converge pas normalement.

Pour la convergence simple et la convergence uniforme,il faut penser aux séries alternées ...

Devancé.

Bonjour, Dryss  

Merci beaucoup pour vos réponses.

Pour la convergence uniforme on a :

|R_n(x)| ≤ d'après le critère spécial des séries alternées.

Mais on est ramené au même cas que précédemment.

Pour montrer qu'elle converge uniformément je dois la majorer la valeur absolue du reste par une suite ne dépendant pas de x qui converge vers 0.

Cependant je ne vois pas comment majorer

Il suffit d'écrire les inégalités
ln(1+u) u   pour  u positif
x/(1+x) 1   pour x positif


Par ailleurs, une faute dans ce que j'ai écrit à 20h36:
x/n(x+1) n'est pas équivalent à   x/n  non plus.

d'accord .


On a donc

Ce qui tend bien vers 0. Donc la série des f_n CV uniformément.


On peut en faire de même pour la convergence normale non ?

en effet si f_n est majorée par a_n quelque soit x et que la série des a_n CV, la série des f_n CV normalement c'est bien ca ?

Si la série des f_n convergeait normalement, alors, pour tout x, la série des f_n(x) convergerait absolument. Et j'ai déjà signalé que la série des f_n(x) ne convergeait pas absolument parce que |f_n(x)| est équivalent à A/n, avec A=x/(1+x).

Maintenant, rien ne t'empêche de calculer la norme infinie de f_n (notée a_n) et de constater que la série des a_n est divergente. Mais c'est plus long.

Je le répète pour la troisième fois: cette série ne converge pas normalement.

D'accord, j'ai bien compris cela. J'essaie seulement de comprendre.
Si au lieu de prendre la norme infinie de f_n je prend un majorant noté a_n de |f_n| et que je montre que la série de ce dernier cv, il y a bien Cv normale pour f_n ?! (je ne suis plus en train de dire que a_n existe dans notre cas, j'ai bien compris que ce n'était pas le cas.)

La ou je me suis trompé tout a l'heure c'est quand j'ai pris la limite du majorant a_n au lieu de la série des a_n (qui ne converge pas).

Y a-t-il un critère simple pour montre la non Cv normale, (si je puis dire) autrement qu'en calculant ||f_n|| infinie, ce qui est très contraignant...


Merci en tout cas de ton aide =)