Bonjour,

Tout d'abord, merci beaucoup pour votre aide.

Voila l'énoncé du problème.

On considère la fonction f(x)=1/(x²+a²) , a désignant un réel strictement positif. Soit n dans N*.

On considère les réels xi définis par: i[0,n], xi=-1+2(i/n).

On note Pn le polynôme de Rn[X] tel que i[0,n], Pn(xi)=f(xi). Pn est le polynôme d'interpolation de f aux points x0,x1,...,xn.

1. On a montré que si une fonction :[-1,1]R est de classe Cⁿ⁺¹ et possède n+2 zéros distincts dans [-1:1], alors la dérivée d'ordre (n+1) s'annule dans ]-1,1[.

On en a déduit que x]-1,1[,c]-1,1[/f(x)-Pn(x)=(x-xo)...(x-xn)((f⁽ⁿ⁺¹⁾(c))/(n+1)!).

2. On a décomposé f en éléments simples sur C:

f(x)=(1/(x-ia) - 1/(x+ia))(1/2ia)

et on a déterminé la dérivée d'ordre n+1 de f:

f⁽ⁿ⁺¹⁾(x)=(1/(x-ia)ⁿ⁺² - 1/(x+ia)ⁿ⁺²)((-1)ⁿ⁺¹(n+1)!/2ia)

3. On a montré que x[-1,1], (x-xo)...(x-xn)2ⁿ⁺¹(n+1)!/nⁿ⁺¹ , en valeur absolue.

4. On doit à présent en déduire que si a>2/e, la suite (Pn) converge uniformément sur [-1;1] vers f.

Merci beaucoup d'avance pour votre aide.