Bonsoir,

Es-tu certain de ton sup|fn(x)| ? Je dirais plutôt qu'il vaut 1/ln(2+n), qui tend bien vers 0
Ceci dit, ça ne change pas le résultat car la série de terme général 1/ln(2+n) est divergente, par exemple parce que décroissant moins vite que le série de terme général 1/n qui est elle-même divergente

Pour la continuité, tu as une méthode spécifique dans le cas des séries alternées. Tu vas utiliser deux théorèmes que tu as dû voir dans le cours :
1)Une série de fonctions fn(x) converge uniformément si et seulement si elle converge simplement et si la suite des restes Rn(x) converge uniformément vers 0
2)Dans une série alternée, le reste de la somme partielle à l'ordre n est majoré en valeur absolue par le premier terme négligé
Et la c'est immédiat : le reste Rn(x) est majoré en v.a. par 1/ln(2+x²+n) qui est lui-même majoré par 1/ln(2+n)
Donc Rn(x) tend uniformément vers 0, donc fn(x) converge uniformément, donc la somme est continue

merci pour cette réponse,pour le sup j'ai du faire une erreur de calcul je vais recommencer
je voulais savoir aussi, comment montrer que 1/ln(2+n) est divergente?

désolée j'avais pas vu l'explication plus haut