pas sur N* pardon sur [1,+\infty[

Bonsoir,

Qu'appelles-tu g(x) ?

j'appelle g(x) la limite des fn quand n tend vers l'infini. Soit   ,   

Et comment prouves-tu que celle limite existe pour tout x 1 ?

Quand n tend vers l'infini on a fn(x) qui tend vers 0 non ? et g= lim 1/n = 0 pour tout   . Je sais pas quoi dire de plus quand à l'existence de g. Je vois pas pourquoi elle n'existerait pas

OK, donc g(x) est la fonction nulle sur [1;+oo[
fn(n) = 1/n
fn(x) = 0 pour x n
Il y a convergence uniforme lorsque la clause suivante est vérifiée :
> 0, n() *, n > n(), x 1, 0 fn(x) <
L'important pour la convergence uniforme étant que le n() ne dépende bien que de et pas de x.
Pour x n, f(x) = 0, la condition est assurée.
Pour x = n, on doit assurer 1/n < , donc n > 1/
n() = E(1/) + 1 convient.
La convergence est donc uniforme.

Donc d'une manière générale , quand on veut montrer qu'un suite de fonction coverge uniformément vers une fonction g , alors il faut trouver un n qui dépend seulement de epsilon ?

Mais parfois ça suffit pas non ? car des fois on nous demande de vérifier si lim sup fn(x)= 0 . Comme par exemple avec x^n sur [0;1[
On cherche à montrer que si g n'est pas continu alors il n'y a pas convergence uniforme.

Non, ça suffit, c'est une conséquence directe de la définition. Dans la convergence simple, le n dépend de et à priori aussi de x. Si tu peux rendre le n indépendant de x, par exemple en le majorant quand x parcourt l'ensemble de définition, alors par définition, la convergence est uniforme.

Le contre-exemple que tu prends est "à l'envers" : si une suite de fonctions continues converge uniformément, alors la fonction limite est continue. Et donc, si tu arrives à montrer que la fonction limite n'est pas continue, c'est que la convergence n'est pas uniforme.