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Convergence uniforme pas évidente

Posté par
fade2black 17-12-08 à 12:12

Bonjour !

J'ai une suite de fonctions (fn) définie comme ceci :

fn(t)=((1-t²)n)/cn, où cn=(1-t²)ndt sur le segment [-1,1].

Il faut que je montre que la suite (fn) converge uniformément vers 0 sur tout compact ne contenant pas 0.

Le problème vient des cn qui tendent vers 0 en +, mais à quelle vitesse ça je ne sais pas. Les cn ressemblent à des intégrales de Wallis, suis-je obligé de les expliciter, puis de trouver des équivalents grâce à Stirling pour étudier la convergence uniforme de ma suite de fonctions ?

Merci de votre aide !

Posté par
miltonre : Convergence uniforme pas évidente 17-12-08 à 13:16

bonjour
soit U_n(t)=(1-t^2)^{n}  
f_n(t)=\frac{U_n(t)}{\Bigint_{-1}^{1}U_n(t)dt}   
pour que ca converge sur [-1,1] vers 0 \Bigint_{-1}^{1}f_n(t)dt doit coverger vers 0 or elle est constante et egale à 1

Posté par
fade2blackre : Convergence uniforme pas évidente 17-12-08 à 13:25

Il ne f

Posté par
fade2blackre : Convergence uniforme pas évidente 17-12-08 à 13:25

Oups.

Il ne faut pas que la suite converge uniformément vers 0 sur [-1;1] mais sur tout compact ne contenant pas 0 !

Posté par
fade2blackre : Convergence uniforme pas évidente 17-12-08 à 13:26

Sinon, j'ai trouvé une version plus détaillée de mon exo sur Internet, et ils minorent cn par 2/(n+1). Ca suffirait à résoudre mon problème, mais comment obtenir cette minoration ?

Posté par
miltonre : Convergence uniforme pas évidente 17-12-08 à 13:27

seul milton envoit ce type de message alors corrige

Posté par
zskiredjre : Convergence uniforme pas évidente 17-12-08 à 13:28

par récurrence en cassant l'intégrale pour le rang n+1 ! (et en minorant)

Posté par
fade2blackre : Convergence uniforme pas évidente 17-12-08 à 13:32

zskiredj->> Ca revient pas à calculer une intégrale de Wallis ?

milton->> ??

Posté par
zskiredjre : Convergence uniforme pas évidente 17-12-08 à 13:35

oui c est cela. Mais les resultats de Walis sont assez classiques :

Posté par
fade2blackre : Convergence uniforme pas évidente 17-12-08 à 13:39

Ca me semble bizarre qu'au milieu d'une question d'un exo, on nous demande de calculer les intégrales de Wallis (l'expression est assez compliquée, je ne pense pas qu'on attend de nous qu'on la retienne).
Y'a pas une minoration plus simple, sans passer par le calcul effectif de l'intégrale ?
En attendant je me colle au calcul, c'est parti.

Posté par
zskiredjre : Convergence uniforme pas évidente 17-12-08 à 13:43

euh sur mon lien ya tout le calcul ...

Posté par
fade2blackre : Convergence uniforme pas évidente 17-12-08 à 13:44

Oui oui j'ai vu, mais j'aimerais y arriver seul
Y'a t-il moyen de calculer l'intégrale sans changement de variable ?

Posté par
zskiredjre : Convergence uniforme pas évidente 17-12-08 à 13:46

non

Posté par
Rodrigore : Convergence uniforme pas évidente 17-12-08 à 17:32

Bonjour,
ON peut faire plus elementaire par une utilisation du binome de Newton pour minorer l'intégrale.

Posté par
fade2blackre : Convergence uniforme pas évidente 17-12-08 à 18:06

Je suis arrivé à (-1)k*(k parmi n)*2/(2k+1), somme allant de 0 à n, avec le binôme de Newton.
Comment tu minores ça...?

Posté par
Rodrigore : Convergence uniforme pas évidente 17-12-08 à 18:09

Autant pour moi j'avais zappé le (-1)^k

Posté par
fade2blackre : Convergence uniforme pas évidente 17-12-08 à 18:15

Ok pas grave.
Ca m'aura fait réviser les intégrales de Wallis, c'est pas plus mal.
Merci à tous ceux qui m'ont aidé

Posté par
elhor_abdelali Correcteurre : Convergence uniforme pas évidente 17-12-08 à 18:17

Bonjour ;

Il me semble que 4$\red\fbox{\int_{\sqrt2}^{1+\sqrt2}\left(1-t^2)^{2n}dt\;\ge\;1} sauf erreur bien entendu

Posté par
fade2blackre : Convergence uniforme pas évidente 17-12-08 à 18:26

Peut-être, mais quel est le rapport avec mon intégrale ? Je n'arrive pas à le voir

Posté par
elhor_abdelali Correcteurre : Convergence uniforme pas évidente 17-12-08 à 18:38

Citation :
Il faut que je montre que la suite (fn) converge uniformément vers 0 sur tout compact ne contenant pas 0.


Si c'était vrai on devrait avoir 4$\fbox{\lim_{n\to+\infty}\;\int_{\sqrt2}^{1+\sqrt2}f_{2n}(t)dt\;=\;0}

et comme 4$\fbox{\int_{\sqrt2}^{1+\sqrt2}f_{2n}(t)dt\;\ge\;\frac{1}{c_{2n}}} ceci nécéssiterait 4$\fbox{\lim_{n\to+\infty}c_{2n}\;=\;+\infty}

Or pour tout n\in\mathbb{N} on a 4$\red\fbox{c_{2n}=\int_{-1}^{1}\left(1-t^2\right)^{2n}dt\;\le\;2} sauf erreur bien entendu

Posté par
elhor_abdelali Correcteurre : Convergence uniforme pas évidente 17-12-08 à 18:48

Ne serait-ce pas plutôt

Citation :
...sur tout compact de [-1,1] ne contenant pas 0

Posté par
fade2blackre : Convergence uniforme pas évidente 17-12-08 à 18:56

Si...
En fait fn est définie que sur [-1,1]...
Désolé elhor

Posté par
elhor_abdelali Correcteurre : Convergence uniforme pas évidente 17-12-08 à 19:11

Si c'est le cas , alors par parité il suffit de montrer la convergence uniforme de f_n vers 0 sur tout segment [a,1] où 0<a<1

et ça c'est acquis vu que 4$\fbox{\forall t\in[a,1]\;,\;0\le f_n(t)\le\frac{(1-a^2)^n}{c_n}}

et 4$\fbox{c_n=2\int_{0}^{1}\left(1-t^2\right)^ndt\;\ge\;2\int_{0}^{1}\left(1-t\right)^ndt\;=\;\frac{2}{n+1}}

d'où 5$\blue\fbox{\forall t\in[a,1]\;,\;0\le f_n(t)\le\frac{1}{2}(n+1)(1-a^2)^n}

et la règle de D'alembert pour les suites numériques donnerait le résultat souhaité sauf erreur bien entendu

Posté par
elhor_abdelali Correcteurre : Convergence uniforme pas évidente 17-12-08 à 19:16

On vient ainsi de prouver la convergence normale de f_n vers 0 sur tout compact de [-1,1] ne contenant pas 0

car un tel compact est contenu dans une partie de la forme [-1,-a]\cup[a,1] pour un certain a\in]0,1[

Posté par
fade2blackre : Convergence uniforme pas évidente 17-12-08 à 19:22

Haaaaaaa ben voilà la majoration que je ne trouvais pas !! 1-t²>1-t...

Dire que j'étais passé par les intégrales de Wallis pour montre cette minoration de l'intégrale !!

Merci elhor !


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