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Convexité du logarithme

Posté par
marcellus 09-05-09 à 19:00

Bonjour :

J'ai deux réels a et b tels que \frac{1}{a} + \frac{1}{b} = 1

J'aimerais montrer, grâce à la fonction ln (et surement sa convexité vue mon cours...) que pour tous réels p et q strictement positifs : p^a \frac{1}{a} + q^b \frac{1}{b} >= ab

Merci de votre aide

Posté par
MatheuxMatoure : Convexité du logarithme 09-05-09 à 19:07

bonsoir

je ne comprends pas bien le premier membre de ton inégalité !

Posté par
Narhmre : Convexité du logarithme 09-05-09 à 19:17

Bonjour,

L'inégalité ne serait-elle pas :   4$ \rm \fr{p^a}{a}+\fr{q^b}{b}\geq pq   pour p,q positifs ?

Si oui, la convexité est le bon truc, effectivement. Comme ln est concave:
3$ \forall \lambda \in [0:1], \forall x_1,x_2\in\mathbb{R}^{+\star}, \ \ln(\lambda x_1+ (1-\lambda)x_2)\geq \lambda \ln(x_1) + (1-\lambda)\ln(x_2)

Choisi bien , et choisi bien x1,x2, l'ingéalité vient tout seul.

Posté par
MatheuxMatoure : Convexité du logarithme 09-05-09 à 19:21

(si c'est cela, bravo Narhm... tu as une boule de cristal super-efficace ! c'est quoi la marque ?)

Posté par
poissoniumre : Convexité du logarithme 09-05-09 à 19:41

C'est utile les boules de cristal des fois...^^

Merci en tout cas

Bonne soirée !

Posté par
Narhmre : Convexité du logarithme 09-05-09 à 19:54

Bonjour MM, poisssonium,

De rien ! Mais, au risque de vous décevoir, je n'utilise plus les boules de cristal : trop lent, imprécis... j'ai en revanche 2 ou 3 précogs qui tournent en continu chaque jour dans mon grenier ! ( Comme quoi, j'ai peut etre pas fait une si mauvaise affaire )

Enfin, reste plus qu'à attendre les confirmations/infirmations de (Mr) Marsellus ( Wallace : Pulp Fiction ) sur les prédictions de mes précogs...

Posté par
marcellusre : Convexité du logarithme 09-05-09 à 20:17

D'accord ; j'ai pris 1/a pour lambda, et p^a et q^b, avant de passer à l'exponentielle

Nickel


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