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Convolution de deux gaussiennes

Posté par
H_aldnoer 17-12-08 à 02:31

Bonsoir,

petit bug dans un calcul : on note \Large g_{m,s}(t)=\frac{1}{s\sqrt{2\pi}}exp(-\frac{(t-m)^2}{2s^2}).

Je dois montrer que \Large g_{m_1,s_1}\ast g_{m_2,s_2} = g_{m,s} où \Large m=m_1+m_2 et \Large s=\sqrt{s_1^2+s_2^2^}.

Je n'y arrive pas, help!

Posté par
miltonre : Convolution de deux gaussiennes 17-12-08 à 12:21

bonjour
calcule le produit de convolution et tu trouveras une gaussienne de la meme forme pour trouver son (m,s)
mais le calcul est lourd

Posté par
H_aldnoerre : Convolution de deux gaussiennes 17-12-08 à 13:12

C'est justement le calcul que je n'arrive pas à faire...

Posté par
robby3re : Convolution de deux gaussiennes 17-12-08 à 13:19

Salut,
comme j'aime pas les s et que je prefere les \sigma pour la variance,je remplace

5$ \Bigint_{\mathbb{R}} \frac{1}{\sigma_1\sigma_2 2\pi} .exp{\frac{-(y-m_1)^2}{2\sigma_1^2}}exp{\frac{-(x-y-m_2)^2}{2\sigma_2^2}} dy \\ \\ =\Bigint_{\mathbb{R}} \frac{1}{\sigma_1\sigma_2 2\pi} .exp{\frac{-(y-m_1)^2}{2\sigma_1^2}}exp{-\frac{(x-m_2-m_1-(y-m_1))^2}{2\sigma_2^2}} dy \\ \\ =exp{\frac{-(x-m_2-m_1)^2}{2\sigma_2^2}}\Bigint_{\mathbb{R}} \frac{1}{\sigma_1\sigma_2 2\pi} .exp{-\frac{(\sigma_1^2+\sigma_2^2)(y-m_1)^2}{2\sigma_1^2\sigma_2^2}+ \frac{(x-m_2-m_1)}{\sigma_2^2}(y-m_1)^2}dy \\ \\ =\frac{exp{\frac{-(x-m_2-m_1)^2}{2\sigma_2^2}}}{\sqrt{2\pi(\sigma_1^2+\sigma_2^2)}}\Bigint_{\mathbb{R}} \frac{\sqrt{\sigma_1^2+\sigma_2^2}}{\sqrt{2\pi(\sigma_1^2.\sigma_2^2)}}.exp{-\frac{(\sigma_1^2+\sigma_2^2)(y-m_1)^2}{2\sigma_1^2\sigma_2^2}+ \frac{(x-m_2-m_1)}{\sigma_2^2}(y-m_1)^2}dy

et là bon,tu tentes un changement de variable de dingue...

5$ \frac{\sqrt{\sigma_1^2+\sigma_2^2}(y-m_1)}{\sigma_1\sigma_2}\longrightarrow z

je poursuis les égalités...ça donne:

5$ =\frac{exp{\frac{-(x-m_2-m_1)^2}{2\sigma_2^2}}}{\sqrt{2\pi(\sigma_1^2+\sigma_2^2)}}\Bigint_{\mathbb{R}}\frac{exp{\frac{-z^2}{2}}}{\sqrt{2\pi}}exp{\frac{(\sigma_1(x-m_2-m_1))z}{\sigma_2\sqrt{\sigma_1^2+\sigma_2^2}}dz

5$ =\frac{exp{\frac{-(x-m_2-m_1)^2}{2\sigma_2^2}}}{\sqrt{2\pi(\sigma_1^2+\sigma_2^2)}}exp{\frac{(\sigma_1^2(x-m_2-m_1)^2)}{2\sigma_2^2(\sigma_1^2+\sigma_2^2)}} \\ \\ =\frac{exp{-\frac{(x-m_2-m_1)^2}{2(\sigma_1^2+\sigma_2^2)}}}{\sqrt{2\pi(\sigma_1^2+\sigma_2^2)}


je crois que c'est bon,mais je suis pas du tout sur...y'a des arrangements peut-etre à faire...

Posté par
miltonre : Convolution de deux gaussiennes 17-12-08 à 13:22

l'un de mes proff disait

Citation :
ce qui est facile n'est pas vrai mai ce qui est compliqué n'existe pas

je crois que c'est peut etre pas le chemin le plus simple que nous avons choisi

Posté par
zskiredjre : Convolution de deux gaussiennes 17-12-08 à 13:25

on peut aussi utiliser le résultat des stats :
si N1(m,s) et N2(m',s') alors N1+N2 est une loi N(m+m',(s²+s'²))

Posté par
H_aldnoerre : Convolution de deux gaussiennes 17-12-08 à 14:03

Bon merci à robby pour avoir taper ça en Latex
C'est bien la galère quand même, et zskiredj (ta choisis on pseudo en tapant au hasard sur le clavier ), je suppose que ce résultat s'obtient en faisant ce que fais robby, isn't it ?

Posté par
zskiredjre : Convolution de deux gaussiennes 17-12-08 à 14:13

oui, c est la version calcule intégrales.
et skiredj c est mon nom et z ma premiere lettre de mon nom. Donc non, c est pas au hasard que j'ai tapé zskiredj !

Posté par
H_aldnoerre : Convolution de deux gaussiennes 17-12-08 à 14:16

Ah
Un prénom qui commence par la lettre z, original

Posté par
robby3re : Convolution de deux gaussiennes 17-12-08 à 17:50

c'est sur que si on veut pas se prendre la tete,on fait ce que dis zskiredj...
faudrait quand meme vérifier mes calculs,y'a peut-etre 2,3 erreurs...

Posté par
veledare : Convolution de deux gaussiennes 17-12-08 à 18:54

bravo robby3,c'est une démonstration que je n'ai jamais tenté de faire au tableau tout comme celle de la formule du crible c'est vraiment pénible ,je donnais un poly

Posté par
robby3re : Convolution de deux gaussiennes 17-12-08 à 18:58

pas de quoi s'emballer Veleda! je l'avais vu dans un bouquin quand j'avais préparer ma leçon d'oral sur les variables aléatoires continues...en fait je mettais surtout souvenu du changement de variable horrible...


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